A B. 5104. feladat (2020. május)

B. 5104. Legyenek az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének érintési pontjai az oldalakon $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$ és $\displaystyle C_1$, a háromszög köréírt, illetve beírt körének sugara $\displaystyle R$ és $\displaystyle r$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle ABC$ háromszögek területének aránya $\displaystyle r:2R$.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a beírt kör középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle A_1B_1C_1$ háromszög területe $\displaystyle t$, az $\displaystyle ABC$ háromszög területe pedig $\displaystyle T$. Az $\displaystyle A_1, B_1, C_1$ pontok érintési pontok, így az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt köre egyben az $\displaystyle A_1B_1C_1$ háromszög körülírt köre is.

Az $\displaystyle A_1B_1C_1$ háromszög csúcsait összekötjük a beírt kör $\displaystyle O$ középpontjával. Ezzel felbontottuk ezt a háromszöget három egyenlő szárú háromszögre, melyeknek szárai mind $\displaystyle r$ hosszúságúak. Az $\displaystyle AB_1O\sphericalangle$ és az $\displaystyle AC_1O\sphericalangle$ derékszögek, ezért az $\displaystyle AB_1OC_1$ négyszögből $\displaystyle B_1OC_1\sphericalangle=180^{\circ}-\alpha$. Hasonlóan látjuk, hogy $\displaystyle C_1OA_1\sphericalangle=180^{\circ}-\beta$ és $\displaystyle A_1OB_1\sphericalangle=180^{\circ}-\gamma$. Két oldal és a közbezárt szög segítségével felírjuk az egyenlő szárú háromszögek területét és felhasználjuk, hogy szög és kiegészítő szögének szinusza megegyezik.

$\displaystyle t=\frac{1}{2}r^2\sin(180^{\circ}-\alpha)+\frac{1}{2}r^2\sin(180^{\circ}-\beta)+\frac{1}{2}r^2\sin(180^{\circ}-\gamma)=\frac{r^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).$

Az $\displaystyle ABC$ háromszög területét a félkerülettel és a beírt kör sugarával határozzuk meg, majd felhasználjuk az általánosított szinusztételt, amely szerint

$\displaystyle a=2R\sin\alpha, b=2R\sin\beta, c=2R\sin\gamma.$

$\displaystyle T=r\cdot s =\frac{r}{2}(a+b+c)=rR(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).$

Ezután már felírható a két terület aránya:

$\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{\frac{r^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}{rR(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}=\frac{r^2}{2Rr}=\frac{r}{2R}.$

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Arató Zita, Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Beke Csongor, Biró 424 Ádám, Bognár 171 András Károly, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Gábriel Tamás, Geretovszky Anna, Hervay Bence, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás, Laki Anna, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Páhán Anita Dalma, Reimann Kristóf, Richlik Bence, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szabó 991 Kornél, Szakács Ábel, Sztranyák Gabriella, Szűcs 064 Tamás, Tiderenczl Dániel, Tóth 057 Bálint, Vakaris Klyvis, Velich Nóra, Wiener Anna, Zempléni Lilla.
3 pontot kapott:	Halász Henrik, Mohay Lili Veronika, Molnár Lehel, Móricz Benjámin, Osztényi József.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai