A B. 5107. feladat (2020. május)

B. 5107. Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszögben az átlók metszéspontja $\displaystyle F$, az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ oldalegyenesek metszéspontja $\displaystyle E$, az $\displaystyle EF$ szakasz felezőpontja $\displaystyle G$, a $\displaystyle BF$ szakasz felezőpontja $\displaystyle H$, a $\displaystyle BC$ oldal felezőpontja pedig $\displaystyle I$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle {GFD\sphericalangle=GIH\sphericalangle}$.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle K$ az $\displaystyle F$ pont tükörképe az $\displaystyle I$ pontra; ekkor tehát a $\displaystyle BKCF$ négyszög paralelogramma, és $\displaystyle FCB\sphericalangle=KBC\sphericalangle$. A $\displaystyle GHI$ háromszög középpontosan hasonló az $\displaystyle EBK$ háromszöghöz, ezért $\displaystyle GIH\sphericalangle=EKB\sphericalangle$. Elég tehát azt igazolnunk, hogy $\displaystyle GFD\sphericalangle=EKB\sphericalangle$.

Azt állítjuk, hogy az $\displaystyle EBKC$ (esetleg konkáv) négyszög hasonló az $\displaystyle EDFA$ négyszöghöz, és a két négyszög ellentétes írányítású. A paralelogrammából és a kerületi szögek tételéből $\displaystyle KBC\sphericalangle=ACB\sphericalangle=ADF\sphericalangle$, továbbá $\displaystyle CKB\sphericalangle=BFC\sphericalangle=DFA\sphericalangle$, így a $\displaystyle BCK$ háromszög hasonló a $\displaystyle DAF$ háromszöghöz, és ellentétes írányítású vele. Ugyanígy, $\displaystyle CBE\sphericalangle=ADE\sphericalangle$ (ez akkor is igaz, ha az $\displaystyle E$ pont az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle DC$ félegyeneseken helyezkedik el), és $\displaystyle BEC\sphericalangle=AED\sphericalangle$, ami miatt a $\displaystyle BCE$ háromszög is hasonló a $\displaystyle DAE$ háromszöghöz, és ellentétes írányítású vele. Az az irányításváltó hasonlóság, amely a $\displaystyle B,C$ pontokat a $\displaystyle D,A$ pontokba viszi, egyúttal a $\displaystyle K,E$ pontokat az $\displaystyle E,F$ pontokba képezi. Ezzel beláttuk, hogy az $\displaystyle EBKC$ négyszög hasonló az $\displaystyle EDFA$ négyszöghöz, és ellentétes írányítású vele.

A két négyszög hasonlósága miatt az $\displaystyle EKB\sphericalangle$ és $\displaystyle EFD\sphericalangle$ szögek egyenlők és ellentétes irányításúak. Tehát

$\displaystyle GFD\sphericalangle=EFD\sphericalangle=EKB\sphericalangle=GIH\sphericalangle.$

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Arató Zita, Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Beke Csongor, Csonka Illés, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Kercsó-Molnár Anita, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Mohay Lili Veronika, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Németh Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Tiderenczl Dániel, Velich Nóra, Wiener Anna.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai