A B. 5110. feladat (2020. szeptember)

B. 5110. Egy egyenlő szárú háromszögbe írható körnek az oldalakkal párhuzamos érintői a háromszögből három kis háromszöget vágnak le. Bizonyítsuk be, hogy az alapra illeszkedő kis háromszögek alaphoz tartozó magassága megegyezik a háromszögbe írható kör sugarával.

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A kör bármely két, egymással párhuzamos érintője egymás tükörképe a kör $\displaystyle O$ középpontjára. Így az $\displaystyle AC'$ egyenes $\displaystyle O$-ra vonatkozó tükörképe az $\displaystyle A'C''$ egyenes, hasonlóan a $\displaystyle B'C'$ és $\displaystyle B''C''$ egyenesek is egymás $\displaystyle O$-ra vonatkozó tükörképei. Ezért $\displaystyle C''$, az $\displaystyle A'C''$ és $\displaystyle B''C''$ egyenesek metszéspontja és $\displaystyle C'$, az $\displaystyle AC'$ és $\displaystyle B'C'$ egyenesek metszéspontja is egymás tükörképei $\displaystyle O$ szerint.

Másfelől az $\displaystyle ABC$ háromszög tengelyesen szimmetrikus az $\displaystyle OC$ egyenesre, ezért $\displaystyle C'$ és $\displaystyle C''$ egymás tükörképei az $\displaystyle OC$ egyenesre nézve is, tehát a $\displaystyle C'C''$ szakasz párhuzamos a háromszög $\displaystyle AB$ alapjával és a felezőpontja $\displaystyle O$, amiből következik a feladat állítása.

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	100 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai