A B. 5110. feladat (2020. szeptember)

B. 5110. Egy egyenlő szárú háromszögbe írható körnek az oldalakkal párhuzamos érintői a háromszögből három kis háromszöget vágnak le. Bizonyítsuk be, hogy az alapra illeszkedő kis háromszögek alaphoz tartozó magassága megegyezik a háromszögbe írható kör sugarával.

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A kör bármely két, egymással párhuzamos érintője egymás tükörképe a kör \(\displaystyle O\) középpontjára. Így az \(\displaystyle AC'\) egyenes \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképe az \(\displaystyle A'C''\) egyenes, hasonlóan a \(\displaystyle B'C'\) és \(\displaystyle B''C''\) egyenesek is egymás \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképei. Ezért \(\displaystyle C''\), az \(\displaystyle A'C''\) és \(\displaystyle B''C''\) egyenesek metszéspontja és \(\displaystyle C'\), az \(\displaystyle AC'\) és \(\displaystyle B'C'\) egyenesek metszéspontja is egymás tükörképei \(\displaystyle O\) szerint.

Másfelől az \(\displaystyle ABC\) háromszög tengelyesen szimmetrikus az \(\displaystyle OC\) egyenesre, ezért \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle C''\) egymás tükörképei az \(\displaystyle OC\) egyenesre nézve is, tehát a \(\displaystyle C'C''\) szakasz párhuzamos a háromszög \(\displaystyle AB\) alapjával és a felezőpontja \(\displaystyle O\), amiből következik a feladat állítása.

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	100 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai