A B. 5111. feladat (2020. szeptember)

B. 5111. Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ valós számokról tudjuk, hogy $\displaystyle a + b = 1$ és $\displaystyle a^2 + b^2 = 2$. Határozzuk meg $\displaystyle a^8 + b^8$ értékét.

Szalai Máté (Szeged) javaslata alapján

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az első egyenlet alapján $\displaystyle b=1-a$, ezt a második egyenletbe behelyettesítve rendezés után a

$\displaystyle 2a^2-2a-1=0$

másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai:

$\displaystyle a=\frac{2\pm \sqrt{2^2+4\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

Így $\displaystyle \{a,b\}=\left\{ \frac12-\frac{\sqrt3}{2},\frac12+\frac{\sqrt3}{2} \right\}$. A megadott feltételek ilyenkor valóban teljesülnek.

A binomiális tétel alapján

$\displaystyle (1\pm \sqrt{3})^8=\binom{8}{0}\pm\binom{8}{1}\sqrt{3}+\binom{8}{2}\sqrt{3}^2\pm \dots +\binom{8}{8}\sqrt{3}^8.$

Az így kapott két összeget összeadva:

Így $\displaystyle a^8+b^8=\frac{3104}{256}=\frac{97}{8}$.

2. Megoldás. A feltételek alapján:

$\displaystyle 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1^2-2=-1,$

vagyis $\displaystyle ab=-\frac12$. Emeljük négyzetre az $\displaystyle a^2+b^2=2$ egyenletet:

$\displaystyle (a^2+b^2)^2=4,$

$\displaystyle (a^4+b^4)+2a^2b^2=4,$

amiből $\displaystyle a^4+b^4=4-2(ab)^2=4-2\cdot \left(-\frac12\right)^2=\frac{7}{2}$. Ismét négyzetre emelve:

$\displaystyle (a^4+b^4)^2=\left( \frac{7}{2}\right)^2,$

$\displaystyle a^8+b^8+2a^4b^4=\frac{49}{4},$

amiből $\displaystyle a^8+b^8=\frac{49}{4}-2(ab)^4=\frac{49}{4}-2\left(-\frac12\right)^4=\frac{97}{8}$.

Statisztika:

232 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	195 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai