![]() |
A B. 5112. feladat (2020. szeptember) |
B. 5112. Egy kártyapakliban p darab piros és k darab kék kártya van. Hányféleképpen választhatunk ki a pakliból kártyákat úgy, hogy a piros kártyák száma n-nel több legyen, mint a kék kártyák száma?
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel piros kártyából pontosan n-nel többet kell kiválasztani, mint kékből, így a nem kiválasztott kék kártyák és a kiválasztott piros kártyák együttes száma éppen n-nel több, mint a kék kártyák száma, vagyis k+n. (Mindez megfordítva is teljesül persze, ha ez az érték k+n, akkor piros kártyából n-nel többet választottunk, mint kékből.) Így tehát azt kell megszámolnunk, hogy a kártyák p+k elemű halmazának hány darab k+n elemű részhalmaza van. (Egy ilyen k+n elemű H részhalmazhoz tartozó kiválasztás úgy adódik, hogy vesszük a H-beli piros, és a H-n kívüli kék kártyákat.) Világos, hogy az ilyen részhalmazok száma \displaystyle \binom{p+k}{k+n}. Tehát a kiválasztások száma \displaystyle \binom{p+k}{k+n} (aminek értéke 0, amennyiben \displaystyle p<n).
Megjegyzés. Alapvetően hibásak azok a megoldások, amelyekben az azonos színű lapokat a megoldó nem különböztette meg egymástól. A feladat kontextusában ilyen feltételezés azért sem életszerű, mert kártyáknak a színük mellett általában ,,számuk'' (2,3,4, király, dáma, stb. ) is szokott lenni. Vagy: két, külső szemlélő által azonosnak látott ikerpár tagjainak külön én-tudata van, nem alkotnak együtt egyetlen embert. De a legegyszerűbb példaként tekintsünk két 10 forintos érmét, dobjuk fel őket egyszerre. Ha fogadnunk kell arra, hány ,,fej'' lesz a dobás eredménye, érdemes 1-re tippelnünk, hiszen ennek 1/2 a valószínűsége, míg a nulla és a kettő fejnek egyaránt 1/4 - 1/4. Ha a két érmét – helytelenül – nem különböztetnénk meg egymástól, akkor mindhárom eset valószínűsége 1/3 lévén fogadhatnánk akár két fejre is, amivel sok játék után sok pénzt veszíthetünk...
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Baski Bence, Bognár 171 András Károly, Bukva Dávid, Fülöp Csilla, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, HyunBin Yoo, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Székely Milán, Sztranyák Gabriella, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra, Wiener Anna. 3 pontot kapott: Bán-Szabó Áron, Ben Gillott, Diaconescu Tashi, Kerekes Boldizsár, Kökényesi Márk Péter, Móricz Benjámin, Németh Márton, Osztényi József. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 24 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai
|