A B. 5112. feladat (2020. szeptember)

B. 5112. Egy kártyapakliban \(\displaystyle p\) darab piros és \(\displaystyle k\) darab kék kártya van. Hányféleképpen választhatunk ki a pakliból kártyákat úgy, hogy a piros kártyák száma \(\displaystyle n\)-nel több legyen, mint a kék kártyák száma?

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel piros kártyából pontosan \(\displaystyle n\)-nel többet kell kiválasztani, mint kékből, így a nem kiválasztott kék kártyák és a kiválasztott piros kártyák együttes száma éppen \(\displaystyle n\)-nel több, mint a kék kártyák száma, vagyis \(\displaystyle k+n\). (Mindez megfordítva is teljesül persze, ha ez az érték \(\displaystyle k+n\), akkor piros kártyából \(\displaystyle n\)-nel többet választottunk, mint kékből.) Így tehát azt kell megszámolnunk, hogy a kártyák \(\displaystyle p+k\) elemű halmazának hány darab \(\displaystyle k+n\) elemű részhalmaza van. (Egy ilyen \(\displaystyle k+n\) elemű \(\displaystyle H\) részhalmazhoz tartozó kiválasztás úgy adódik, hogy vesszük a \(\displaystyle H\)-beli piros, és a \(\displaystyle H\)-n kívüli kék kártyákat.) Világos, hogy az ilyen részhalmazok száma \(\displaystyle \binom{p+k}{k+n}\). Tehát a kiválasztások száma \(\displaystyle \binom{p+k}{k+n}\) (aminek értéke 0, amennyiben \(\displaystyle p<n\)).

Megjegyzés. Alapvetően hibásak azok a megoldások, amelyekben az azonos színű lapokat a megoldó nem különböztette meg egymástól. A feladat kontextusában ilyen feltételezés azért sem életszerű, mert kártyáknak a színük mellett általában ,,számuk'' (2,3,4, király, dáma, stb. ) is szokott lenni. Vagy: két, külső szemlélő által azonosnak látott ikerpár tagjainak külön én-tudata van, nem alkotnak együtt egyetlen embert. De a legegyszerűbb példaként tekintsünk két 10 forintos érmét, dobjuk fel őket egyszerre. Ha fogadnunk kell arra, hány ,,fej'' lesz a dobás eredménye, érdemes 1-re tippelnünk, hiszen ennek 1/2 a valószínűsége, míg a nulla és a kettő fejnek egyaránt 1/4 - 1/4. Ha a két érmét – helytelenül – nem különböztetnénk meg egymástól, akkor mindhárom eset valószínűsége 1/3 lévén fogadhatnánk akár két fejre is, amivel sok játék után sok pénzt veszíthetünk...

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Baski Bence, Bognár 171 András Károly, Bukva Dávid, Fülöp Csilla, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, HyunBin Yoo, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Székely Milán, Sztranyák Gabriella, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra, Wiener Anna.
3 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Ben Gillott, Diaconescu Tashi, Kerekes Boldizsár, Kökényesi Márk Péter, Móricz Benjámin, Németh Márton, Osztényi József.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	24 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai