A B. 5113. feladat (2020. szeptember)

B. 5113. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) adott, páronként relatív prím pozitív egészek. Igazoljuk, hogy ekkor az

\(\displaystyle x^a + y^b=z^c \)

egyenletnek végtelen sok megoldása van az \(\displaystyle (x,y,z)\) pozitív egész számhármasok körében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle x,y,z\)-t speciális alakban fogjuk felvenni, ilyen alakban keresve megoldásokat. Legyen \(\displaystyle x=2^{bk}, y=2^{ak}, z=2^n\) alakú (\(\displaystyle k,n\): később meghatározásra kerülő egész ismeretlenek). Az \(\displaystyle x^a + y^b=z^c\) egyenletbe beírva az \(\displaystyle x,y,z\) speciális alakját kapjuk: \(\displaystyle \left(2^{bk}\right)^a + \left(2^{ak}\right)^b=\left(2^n\right)^c\), ami a következő alakra hozható:
\(\displaystyle 2^{abk}+2^{abk}=2^{cn} \Leftrightarrow 2^{abk+1}=2^{cn} \Leftrightarrow abk+1=cn\).
(A műveletek végig ekvivalens átalakítások voltak; az utolsó lépés a \(\displaystyle 2^x\) függvény szigorú monotonitása miatt.)
Mivel \(\displaystyle a,b,c\) páronként relatív prímek, ezért \(\displaystyle ab\) (szorzat) és \(\displaystyle c\) is relatív prímek, emiatt az \(\displaystyle abk+1=cn\) Diofantoszi-egyenletnek végtelen sok \(\displaystyle (n;k)\) pozitív egész számpár megoldása van. Az ekvivalens lépések miatt ez pontosan azt jelenti, hogy az eredeti egyenletünknek is végtelen sok \(\displaystyle (x;y;z)\) (speciális alakú, de ez mindegy) megoldása van.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai