A B. 5113. feladat (2020. szeptember)

B. 5113. Legyenek $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ adott, páronként relatív prím pozitív egészek. Igazoljuk, hogy ekkor az

$\displaystyle x^a + y^b=z^c$

egyenletnek végtelen sok megoldása van az $\displaystyle (x,y,z)$ pozitív egész számhármasok körében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle x,y,z$-t speciális alakban fogjuk felvenni, ilyen alakban keresve megoldásokat. Legyen $\displaystyle x=2^{bk}, y=2^{ak}, z=2^n$ alakú ($\displaystyle k,n$: később meghatározásra kerülő egész ismeretlenek). Az $\displaystyle x^a + y^b=z^c$ egyenletbe beírva az $\displaystyle x,y,z$ speciális alakját kapjuk: $\displaystyle \left(2^{bk}\right)^a + \left(2^{ak}\right)^b=\left(2^n\right)^c$, ami a következő alakra hozható:
$\displaystyle 2^{abk}+2^{abk}=2^{cn} \Leftrightarrow 2^{abk+1}=2^{cn} \Leftrightarrow abk+1=cn$.
(A műveletek végig ekvivalens átalakítások voltak; az utolsó lépés a $\displaystyle 2^x$ függvény szigorú monotonitása miatt.)
Mivel $\displaystyle a,b,c$ páronként relatív prímek, ezért $\displaystyle ab$ (szorzat) és $\displaystyle c$ is relatív prímek, emiatt az $\displaystyle abk+1=cn$ Diofantoszi-egyenletnek végtelen sok $\displaystyle (n;k)$ pozitív egész számpár megoldása van. Az ekvivalens lépések miatt ez pontosan azt jelenti, hogy az eredeti egyenletünknek is végtelen sok $\displaystyle (x;y;z)$ (speciális alakú, de ez mindegy) megoldása van.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai