Problem B. 5113. (September 2020)

B. 5113. Let $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ and $\displaystyle c$ denote some given, pairwise relatively prime positive integers. Prove that the equation

$\displaystyle x^a + y^b=z^c$

has infinitely many solutions $\displaystyle (x,y,z)$ where $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ and $\displaystyle z$ are positive integers.

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. $\displaystyle x,y,z$-t speciális alakban fogjuk felvenni, ilyen alakban keresve megoldásokat. Legyen $\displaystyle x=2^{bk}, y=2^{ak}, z=2^n$ alakú ($\displaystyle k,n$: később meghatározásra kerülő egész ismeretlenek). Az $\displaystyle x^a + y^b=z^c$ egyenletbe beírva az $\displaystyle x,y,z$ speciális alakját kapjuk: $\displaystyle \left(2^{bk}\right)^a + \left(2^{ak}\right)^b=\left(2^n\right)^c$, ami a következő alakra hozható:
$\displaystyle 2^{abk}+2^{abk}=2^{cn} \Leftrightarrow 2^{abk+1}=2^{cn} \Leftrightarrow abk+1=cn$.
(A műveletek végig ekvivalens átalakítások voltak; az utolsó lépés a $\displaystyle 2^x$ függvény szigorú monotonitása miatt.)
Mivel $\displaystyle a,b,c$ páronként relatív prímek, ezért $\displaystyle ab$ (szorzat) és $\displaystyle c$ is relatív prímek, emiatt az $\displaystyle abk+1=cn$ Diofantoszi-egyenletnek végtelen sok $\displaystyle (n;k)$ pozitív egész számpár megoldása van. Az ekvivalens lépések miatt ez pontosan azt jelenti, hogy az eredeti egyenletünknek is végtelen sok $\displaystyle (x;y;z)$ (speciális alakú, de ez mindegy) megoldása van.

Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:	53 students.
4 points:	9 students.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	5 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020