Problem B. 5113. (September 2020)

B. 5113. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) denote some given, pairwise relatively prime positive integers. Prove that the equation

\(\displaystyle x^a + y^b=z^c \)

has infinitely many solutions \(\displaystyle (x,y,z)\) where \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\) are positive integers.

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle x,y,z\)-t speciális alakban fogjuk felvenni, ilyen alakban keresve megoldásokat. Legyen \(\displaystyle x=2^{bk}, y=2^{ak}, z=2^n\) alakú (\(\displaystyle k,n\): később meghatározásra kerülő egész ismeretlenek). Az \(\displaystyle x^a + y^b=z^c\) egyenletbe beírva az \(\displaystyle x,y,z\) speciális alakját kapjuk: \(\displaystyle \left(2^{bk}\right)^a + \left(2^{ak}\right)^b=\left(2^n\right)^c\), ami a következő alakra hozható:
\(\displaystyle 2^{abk}+2^{abk}=2^{cn} \Leftrightarrow 2^{abk+1}=2^{cn} \Leftrightarrow abk+1=cn\).
(A műveletek végig ekvivalens átalakítások voltak; az utolsó lépés a \(\displaystyle 2^x\) függvény szigorú monotonitása miatt.)
Mivel \(\displaystyle a,b,c\) páronként relatív prímek, ezért \(\displaystyle ab\) (szorzat) és \(\displaystyle c\) is relatív prímek, emiatt az \(\displaystyle abk+1=cn\) Diofantoszi-egyenletnek végtelen sok \(\displaystyle (n;k)\) pozitív egész számpár megoldása van. Az ekvivalens lépések miatt ez pontosan azt jelenti, hogy az eredeti egyenletünknek is végtelen sok \(\displaystyle (x;y;z)\) (speciális alakú, de ez mindegy) megoldása van.

Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:	53 students.
4 points:	9 students.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	5 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020