A B. 5114. feladat (2020. szeptember)

B. 5114. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) egységkockát elmetszettük egy síkkal úgy, hogy az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AD\) éleket az \(\displaystyle A\)-tól azonos, \(\displaystyle x\) távolságra levő \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) belső pontjaikban, a \(\displaystyle BF\) élt pedig az \(\displaystyle R\) pontban metszi. Mekkora a \(\displaystyle BR\) távolság, ha \(\displaystyle QPR\sphericalangle=120^\circ\)?

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle AP=AQ=x\) és \(\displaystyle BR=y\). Feltehető, hogy \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB\) él belső pontja, azaz \(\displaystyle 0<x<1\), különben \(\displaystyle P=Q\) vagy \(\displaystyle P=R\), és a \(\displaystyle QPR\angle\) nem jön létre.

A Pitagorasz-tétel többszöri alkalmazásával kapjuk, hogy \(\displaystyle PQ^2=AQ^2+AP^2=2x^2\), \(\displaystyle PR^2=BP^2+BR^2=(1-x)^2+y^2\) és \(\displaystyle QR^2=AQ^2+AB^2+BR^2=x^2+y^2+1\).

Írjuk fel a koszinusz-tételt a \(\displaystyle PQR\) háromszögben a \(\displaystyle P\angle\)-re: \(\displaystyle QR^2=PQ^2+PR^2-2 \cdot PQ\cdot PR \cdot \cos 120^\circ\). Ebbe beírva a fentieket kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^2+y^2+1=2x^2+(1-x)^2+y^2-2\cdot \sqrt{2x^2} \cdot \sqrt{(1-x)^2+y^2}\cdot \frac {-1}2.\)

Rendezés majd négyzetreemelés után:

\(\displaystyle (-2x^2+2x)^2=(2x^2)\cdot ((1-x)^2+y^2).\)

Kihasználva, hogy \(\displaystyle x>0\), oszhatunk \(\displaystyle 2x^2\)-tel, így kapjuk, hogy \(\displaystyle 2(x-1)^2=(x-1)^2+y^2\), azaz \(\displaystyle y^2=(x-1)^2\). Ebből \(\displaystyle x< 1\) és \(\displaystyle y>0\) miatt \(\displaystyle y=1-x\) következik, azaz a \(\displaystyle BR\) távolság \(\displaystyle 1-x\).

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	84 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai