A B. 5119. feladat (2020. október)

B. 5119. A hegyesszögű $\displaystyle ABC$ háromszögben a beírt kör $\displaystyle BC$-vel párhuzamos érintője az $\displaystyle AC$ oldalt a $\displaystyle D$ pontban metszi. A $\displaystyle D$ pont merőleges vetülete a $\displaystyle BC$ oldalon az $\displaystyle F$ pont. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle AB=AD+BF$.

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a beírt kör érintési pontjait a háromszög oldalain $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$ az ábra szerint, és legyen $\displaystyle T$ a $\displaystyle BC$-vel párhuzamos érintő érintési pontja. Párhuzamos egyenesek érintési pontjai a körben átellenes pontok, tehát $\displaystyle PT$ a beírt körnek átmérője, amely merőleges a $\displaystyle CP$ és $\displaystyle DT$ érintőkre: $\displaystyle TPC\sphericalangle=DTP\sphericalangle=90^\circ$.

A feltétel szerint az $\displaystyle F$ pont a $\displaystyle D$ merőleges vetülete a $\displaystyle BC$ oldalon, ezért $\displaystyle BFD\sphericalangle$ is derékszög. A $\displaystyle DFPT$ négyszögnek az $\displaystyle F$, $\displaystyle P$ és $\displaystyle T$ csúcsoknál is derékszöge van, tehát a $\displaystyle DFPT$ négyszög téglalap.

A téglalap szemközti oldalai egyenlők, emiatt $\displaystyle FP=DT$. Továbbá, a körhöz az $\displaystyle A$, a $\displaystyle B$, illetve a $\displaystyle D$ pontból húzott érintő szakaszok egyenlők, így $\displaystyle AQ=AR$, $\displaystyle BP=BR$ és $\displaystyle DQ=DT=FP$. Mindezeket figyelembe véve:

$\displaystyle AD+BF=(AQ-DQ)+(BP+FP)=(AQ+BP)+(FP-DQ)=(AR+BR)+0=AB.$

Ezzel igazoltuk, hogy $\displaystyle AD+BF=AB$.

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	94 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai