A B. 5120. feladat (2020. október)

B. 5120. Kiszíneztük a pozitív egész számokat úgy, hogy $\displaystyle a+b$ színét mindig egyértelműen meghatározza $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ színe; azaz, ha $\displaystyle a$ és $\displaystyle a'$ azonos színűek, valamint $\displaystyle b$ és $\displaystyle b'$ azonos színűek, akkor $\displaystyle a+b$ és $\displaystyle a'+b'$ is azonos színűek. Igazoljuk, hogy ha van olyan szín, amit többször is használtunk, akkor a színezés valahonnan kezdve periodikus.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy van olyan szín, amit többször is használtunk: például $\displaystyle a<a'$ mellett $\displaystyle a$ és $\displaystyle a'$ színe egyforma. Ekkor $\displaystyle a+1$ és $\displaystyle a'+1$ szintén egyforma színűek, sőt, indukcióval kapjuk, hogy bármely $\displaystyle n\geq0$ mellett $\displaystyle a+n$ és $\displaystyle a'+n$ is egyforma színűek. Legyen $\displaystyle d:=a'-a>0$. Megmutatjuk, hogy a színezés $\displaystyle a$-tól kezdve periodikus $\displaystyle d$ periódussal. Ha ugyanis $\displaystyle a\leq k$ tetszőleges, akkor $\displaystyle n=k-a\geq 0$ mellett $\displaystyle a+n=k$, valamint $\displaystyle a'+n=k+d$. Így az, hogy $\displaystyle a+n$ és $\displaystyle a'+n$ azonos színűek, éppen azt jelenti, hogy $\displaystyle k$ és $\displaystyle k+d$ színe azonos. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	97 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai