A B. 5121. feladat (2020. október)

B. 5121. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ahol $\displaystyle x_1, x_2,\ldots,x_n$ pozitív valós számok, $\displaystyle n$ pedig pozitív egész szám:

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételek alapján az $\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n$ pozitív számok számtani közepe $\displaystyle \frac{9}{n}$, harmonikus közepe pedig $\displaystyle n$. Így a számtani és harmonikus közepek közti ismert egyenlőtlenség szerint

$\displaystyle n\leq \frac9n,$

vagyis $\displaystyle n\leq 3$. Az $\displaystyle n=1,2,3$ eseteket külön vizsgáljuk.

Ha $\displaystyle n=1$ lenne, akkor az első egyenletből $\displaystyle x_1=9$, a másodikból $\displaystyle x_1=1$ következne, ami ellentmondás. Így $\displaystyle n\ne 1$.

Ha $\displaystyle n=2$, akkor a két egyenlet:

$\displaystyle x_1+x_2=9,$

$\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1.$

A második egyenletet $\displaystyle x_1x_2$-vel szorozva kapjuk, hogy $\displaystyle x_1+x_2=x_1x_2$, vagyis az első egyenlet alapján $\displaystyle x_1x_2=9$. Így $\displaystyle x_1$ és $\displaystyle x_2$ az $\displaystyle (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2-9x+9$ polinom gyökei: $\displaystyle x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{9^2-4\cdot 9}}{2}=\frac{9\pm3\sqrt{5}}{2}$. Mindkét gyök pozitív, és ha $\displaystyle x_1,x_2$ a két gyök, akkor $\displaystyle x_1+x_2=x_1x_2=9$, amiből $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1$ is következik, vagyis az összes feltétel teljesül. Tehát $\displaystyle x_1=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$ és $\displaystyle x_1=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$ a megoldások az $\displaystyle n=2$ esetben.

Ha $\displaystyle n=3$, akkor a számtani és a harmonikus közép is 3, azonban a két közép között egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a számok egyenlők: $\displaystyle x_1=x_2=x_3$. Ezt egybevetve az első (vagy a második) egyenlettel kapjuk, hogy a közös érték 3, tehát $\displaystyle x_1=x_2=x_3=3$. Ez valóban megoldást ad.

Összefoglalva tehát, a megoldások:

$\displaystyle n=2,\ x_1=\frac{9+3\sqrt{5}}{2},\ x_2=\frac{9-3\sqrt{5}}{2},$

$\displaystyle n=2,\ x_1=\frac{9-3\sqrt{5}}{2},\ x_2=\frac{9+3\sqrt{5}}{2},$

$\displaystyle n=3,\ x_1=x_2=x_3=3.$

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	95 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai