A B. 5122. feladat (2020. október)

B. 5122. Zicc ErWin a Bergengóc Kosárliga valaha volt legbiztosabb kezű büntetődobója. Bár karrierje során a legelső büntetőjét kihagyta, az összesen $\displaystyle 222\,222$ büntetődobásából csupán 2020 maradt ki.

A bergengóc statisztikusok szerint egy kosaras egy büntetődobása érdekes, ha a dobást közvetlenül követően teljesül az, hogy a sikeres dobások (az összes dobáshoz mért) százalékos aránya pozitív egész szám. (Például ha valaki az addigi összesen 40 kísérletéből 12-t bedobott, akkor az utolsó dobása érdekes volt, mert $\displaystyle \frac{12}{40} \cdot 100 = 30 \in \mathbb{N}^+$, viszont az ezt követő 41-edik dobás – akár sikeres, akár nem – semmiféleképpen nem lesz érdekes.)

Legalább hány érdekes büntetője volt Zicc ErWinnek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A válasz 8. Ennek igazolásához megmutatjuk, hogy Zicc ErWinnek legalább 8 érdekes büntetője volt, és mutatunk is olyan dobássorrendet, hogy pontosan 8 érdekes büntető legyen.

Lemma: A feltételek mellett minden $\displaystyle 1<n\leq 100$ egész számra volt olyan dobása ErWinnek, amikor éppen $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$ volt a sikeres dobások aránya.

A lemma bizonyítása: Legyen $\displaystyle 1<n \leq 100$ tetszőleges. Tekintsük az $\displaystyle 1 \cdot n; 2 \cdot n ; 3 \cdot n;...; \left[ \dfrac{222222}{n}\right] \cdot n$-dik dobásokat (,,időpontokat'').

A $\displaystyle \left[ \dfrac{222222}{n}\right] \cdot n$ dobás után már biztosan nagyobb a sikeres kosarak aránya, mint $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$, különben a kihagyott büntetők száma legalább $\displaystyle \dfrac{222222-n}{n} \geq \dfrac{222122}{100}>2221>2020$ lenne, ellentmondva a feladat feltételeinek.

Ha az $\displaystyle n$-dik dobásig a kihagyott első kosarat kivéve minden büntetőt bedobott ErWin, akkor készen vagyunk; az $\displaystyle n$-dik dobás megfelelő.

Ha viszont az első $\displaystyle n$ dobásából legalább kettőt elhibázott, akkor a megadott időpontok között van olyan, ahol az arány kisebb, mint $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$ (jelesül az elején), és van olyan időpont, ahol az arány legalább $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$ (jelesül a végén). Azaz van egy olyan utolsó időpont is, mondjuk $\displaystyle i\cdot n$, ahol a sikeres arány még kisebb, mint $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$.

Ekkor – mivel $\displaystyle (i+1) \cdot n$ időpontban már legalább $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$ a sikeres büntetők aránya – az $\displaystyle (i \cdot n+1)$-edik és $\displaystyle ((i+1) \cdot n)$-edik dobások közötti mind az $\displaystyle n$ dobás sikeres kell, hogy legyen; emiatt az $\displaystyle i \cdot n$ időpontban pontosan 1 sikeres dobás hiányzott az $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$-es arányhoz, és így az $\displaystyle (i+1) \cdot n$ időpontban a sikeres büntetők aránya pontosan $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$. Ezzel a lemmát igazoltuk.

Lemmánk alapján volt olyan időpont ErWin karrierje során, amikor a sikeres dobások aránya
$\displaystyle \boxed{\: \dfrac{1}{2}=50\%; \dfrac{3}{4}=75\%; \dfrac{4}{5}=80\%; \dfrac{9}{10}=90\%; \dfrac{19}{20}=95\%; \dfrac{24}{25}=96\%; \dfrac{49}{50}=98\%; \dfrac{99}{100}=99\% \:}$

Azaz valóban volt legalább 8 darab érdekes büntetője ErWinnek. (A többi $\displaystyle \dfrac{n-1}{n}$ tört nem ad százalékban egész értéket; mivel ezekre $\displaystyle n \nmid 100$.)

Most megmutatjuk, hogy előfordulhatott, hogy nem volt több, mint 8 érdekes büntető. Ehhez az a ,,dobássorrend'' megfelelő, amikor ErWin sikertelen dobásai: az első, és karrierje során az utolsó 2019. (Vagyis a $\displaystyle 2$-diktól a $\displaystyle 222\,222-2019=220\,203$-dik dobásig mindent bedobott).

Ekkor a első száz dobásából pontosan a $\displaystyle 2.;4.;5.;10.,...;100.$ az érdekes, innentől viszont az egész karrierje során 99%-nál nagyobb a sikeres dobások aránya, azaz a többi dobás már nem érdekes.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Argay Zsolt, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bencsik Ádám, Budai Csanád, Dezső Kende Barnabás, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Móra Márton Barnabás, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Rareș Polenciuc, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Török Ágoston.
4 pontot kapott:	Bognár 171 András Károly, Király Csaba Regő, Nguyen Bich Diep, Sógor Bence, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tot Bagi Márton.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai