A B. 5123. feladat (2020. október)

B. 5123. Andi és Bori elosztotta egymás között a SET játék 81 kártyalapját; Andihoz 40, Borihoz 41 lap került. Mindketten megszámolják, hogy a náluk lévő kártyák között hány olyan hármas van, ami SET-et alkot. Mennyi lehet az így kapott darabszámok összege?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A feladat szövegében linkelt cikkből is kiderül, hogy a 81 lapból összesen $\displaystyle \frac{\binom{81}{2}}{3} = 1080$ db SET alkotható. Ezek egy része a szétosztásnál egyben marad (azaz vagy mindhárom lap Andihoz, vagy mindhárom lap Borihoz kerül) – ezek számára vonatkozik a feladat kérdése. A többi SET szétszakad, azaz a SET-et alkotó három lap közül legalább egy Andinál és legalább egy Borinál van.

Számoljuk meg a szétszakadt SET-eket.

Azt állítjuk, hogy a szétszakadt SET-ek száma $\displaystyle \frac{40 \cdot 41}2 = 820$, függetlenül attól, hogy melyik 40 kártyát kapta Andi. Válasszunk ugyanis egy-egy tetszőleges lapot Andi és Bori kezéből, ezt $\displaystyle 40 \cdot 41$-féleképpen tehetjük meg. Erre a két lapra pontosan egy szétszakadt SET illeszkedik. Minden szétszakadt SET-et pontosan kétszer találtunk meg (hiszen az egyik lánynál két lap van ebből a SET-ből, és bármelyiket választhatjuk az ő kezéből).

Így az egyben maradó SET-ek száma: 1080-820 = 260.

2. megoldás. Képzeljük úgy, hogy kezdetben Borinál volt az összes kártya, majd sorban egyesével adott ezek közül 40-et Andinak.

Azt állítjuk, hogy amikor az $\displaystyle n$-edik kártyát ($\displaystyle 1 \leq n \leq 40$) adja át Bori Andinak, akkor azon SET-ek száma, amelyek mindhárom lapja ugyanazon kézben van, pontosan $\displaystyle (41-n)$-nel csökken (függetlenül attól, hogy melyik lapot adja Bori Andinak).

Ehhez azt a tényt (ld. linkelt cikk 3. pont) kell felhasználnunk, hogy ha egy lapot kiveszünk a pakliból, a maradék 80 lap párokba rendezhető úgy, hogy a kivett lap éppen egy-egy ilyen párral együtt alkot SET-et (más SET-ben pedig nincsen benne).

Amikor egy kártyát átad Bori Andinak, az ehhez a kártyához tartozó párok közül néhány pár már egészen Andinál van (ezekből egy-egy új, egy kézben levő SET keletkezik), néhány pár pedig még egészen Borinál maradt (ezeknél elveszik egy-egy eddig meglevő egy kézben levő SET); míg a többi pár két tagja külön kézben van, ezek nem befolyásolják a SET-ek számának változását.

Most tekintsük az $\displaystyle n$-edik kártya átadásának pillanatát és az ehhez a kártyához tarozó párokat. Ha ekkor $\displaystyle a_n$ olyan pár van, amely már teljesen Andinál van, akkor ezek összesen $\displaystyle 2a_n$ helyet foglalnak el Andi kezében. Tehát $\displaystyle n-1-2a_n$ olyan kártya van Andi kezében, amelynek a párja Borinál van. Bori kezében marad $\displaystyle 81-n$ lap, ezek közül tehát $\displaystyle n-1-2a_n$ darabnak Andinál van a párja, így a maradék $\displaystyle (81-n)-(n-1-2a_n) = 82+2a_n-2n$ darab kártya összesen $\displaystyle b_n=41+a_n-n$ olyan párt fog alkotni, amelyek teljesen Borinál maradtak. Így az egy kézben levő SET-ek száma valóban

$\displaystyle b_n-a_n = (41+a_n-n) - a_n = 41-n$

darabbal csökken.

Így, mivel kezdetben mind az 1080 db SET Bori kezében volt, a 40. lap átadása után az egy kézben levő SET-ek száma:

$\displaystyle 1080 - (40 + 39 + \dots + 1) = 1080 - \frac{40 \cdot 41}2.$

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	58 versenyző.
5 pontot kapott:	8 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai