A B. 5125. feladat (2020. október)

B. 5125. Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög köré írt kör középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle DC$ félegyenesek az $\displaystyle E$ pontban metszik egymást. A $\displaystyle BCE$ körben az $\displaystyle E$-vel átellenes pont $\displaystyle F$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AC$, $\displaystyle BD$ és $\displaystyle OF$ egyenesek egy ponton mennek át.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, legyen az $\displaystyle ABCD$ körben az $\displaystyle A$-val átellenes pont $\displaystyle G$, a $\displaystyle D$-vel átellenes pont $\displaystyle H$, az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlók metszéspontja pedig $\displaystyle M$.

Az $\displaystyle ABCD$ körben felírt Thalész-tétel miatt $\displaystyle BG$ merőleges az $\displaystyle AB$ egyenesre, valamint a $\displaystyle BCE$ körben felírt Thalész-tétel miatt $\displaystyle BF$ merőleges a $\displaystyle BE$ egyenesre. Mivel az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle E$ pontok kollineárisak, így a $\displaystyle B$, $\displaystyle F$ és $\displaystyle G$ pontok is. Hasonlóan látható a $\displaystyle C$, $\displaystyle F$ és $\displaystyle H$ pontok kollinearitása. Az eddigiekből következik, hogy a $\displaystyle BG$ és $\displaystyle CH$ egyenesek az $\displaystyle F$ pontban metszik egymást.

Írjuk fel az $\displaystyle ABC$ körbe írt $\displaystyle BGACHD$ hatszögre a Pascal-tételt. A tétel szerint a $\displaystyle BG\cap CH=F$, $\displaystyle GA\cap HD=O$ és $\displaystyle AC\cap BD=M$ pontok egy egyenesre illeszkednek, amiből az állítás azonnal következik.

A feladat szövege szerint a megoldás során használt pontok mindig létrejönnek. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Diaconescu Tashi, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Török Ágoston, Wiener Anna.
5 pontot kapott:	Balogh Ádám Péter.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai