A B. 5126. feladat (2020. november)

B. 5126. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\ge 3\), akkor megadható \(\displaystyle n\) különböző pozitív egész szám úgy, hogy reciprokaik összege 1 legyen.

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

I. Megoldás. Az \(\displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-2}}\) előállítás egy olyan \(\displaystyle n-1\) tagú összeg, amiben az utolsó két tag egyezik, ettől eltekintve viszont a tagok különbözők. Az \(\displaystyle \frac12=\frac13+\frac16\) egyenlőség alapján \(\displaystyle \frac{1}{2^{n-2}}=\frac{1}{3\cdot 2^{n-3}}+\frac{1}{6\cdot 2^{n-3}}\), vagyis

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{n-3}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{3\cdot 2^{n-3}}+\frac{1}{6\cdot 2^{n-3}}.\)

Tehát a \(\displaystyle 2,2^2,\dots,2^{n-2},3\cdot 2^{n-3}, 6\cdot 2^{n-3}\) különböző pozitív egész számok (összesen \(\displaystyle n\) darab) reciprokának összege 1, ezzel igazoltuk a feladat állítását.

II. Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\)-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n=3\), akkor az \(\displaystyle 1=\frac12+\frac13+\frac16\) előállítás megfelelő. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n=k\)-ra már igazoltuk az állítást, megmutatjuk, hogy \(\displaystyle n=k+1\)-re is teljesül. Az indukciós feltevés alapján vannak \(\displaystyle a_1<a_2<\dots<a_k\) pozitív egész számok úgy, hogy \(\displaystyle 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_k}\). Felhasználva, hogy \(\displaystyle \frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_k+1}+\frac{1}{a_k(a_k+1)}\) kapjuk a következő előállítást:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_{k-1}}+\frac{1}{a_k+1}+\frac{1}{a_k(a_k+1)},\)

ahol a nevezőben szereplő pozitív egészek páronként különbözők, hiszen \(\displaystyle a_1<a_2<\dots<a_{k-1}<a_k<a_k+1<a_k(a_k+1)\). Tehát van megfelelő előállítás \(\displaystyle n=k+1\)-re is, innen az állítás indukcióval következik.

Statisztika:

147 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	118 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai