A B. 5128. feladat (2020. november)

B. 5128. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle (x,y)\) relatív prím egészekből álló számpárt, amelyre \(\displaystyle x^2 + x = y^3 + y^2\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet \(\displaystyle x(x+1)=y^2(y+1)\) alakban is írható, amiből leolvasható, hogy \(\displaystyle y^2\mid x(x+1)\). Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív prímek, ezért ebből \(\displaystyle y^2\mid x+1\) is következik. Legyen \(\displaystyle k\) az az egész szám, amire \(\displaystyle x+1=ky^2\). Az egyenletbe ezt behelyettesítve:

\(\displaystyle (ky^2-1)ky^2=y^2(y+1).\)

Ha \(\displaystyle y=0\), akkor az egyenlet teljesül, ekkor \(\displaystyle x=ky^2-1=-1\), ami relatív prím a 0-hoz, így a \(\displaystyle (-1,0)\) pár megoldás. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle y\ne 0\), ekkor ekvivalens lépés az \(\displaystyle y^2\)-tel való osztás:

\(\displaystyle (ky^2-1)k=y+1,\)

\(\displaystyle k^2y^2=k+y+1.\)

Ha \(\displaystyle k=0\), akkor \(\displaystyle y=-1\) kell legyen, ekkor \(\displaystyle x=ky^2-1=-1\), a relatív prímségi feltétel teljesül, a \(\displaystyle (-1,-1)\) megoldást kapjuk. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle k\ne 0\), ekkor ekvivalens lépés a \(\displaystyle k^2y^2\)-tel való osztás:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{ky^2}+\frac{1}{k^2y}+\frac{1}{k^2y^2}.\)

Ha \(\displaystyle |ky|\geq 3\), akkor \(\displaystyle \frac{1}{ky^2}+\frac{1}{k^2y}+\frac{1}{k^2y^2}\leq \frac13+\frac13+\frac19<1\), így az egyenlet nem teljesülhet. Tehát \(\displaystyle ky\ne 0\) miatt \(\displaystyle |ky|\) értéke csak 1 vagy 2 lehet, ezt a két esetet külön megvizsgáljuk.

Ha \(\displaystyle |ky|=1\), akkor visszatérve a \(\displaystyle k^2y^2=k+y+1\) alakhoz látható, hogy az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle k+y=0\). Tehát vagy \(\displaystyle k=1,y=-1\) vagy \(\displaystyle k=-1,y=1\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (x,y)=(0,-1)\), illetve \(\displaystyle (x,y)=(-2,1)\) megoldásokat kapjuk. (A relatív prímségi feltétel is teljesül mindkét esetben.)

Végül, ha \(\displaystyle |ky|=2\), akkor a \(\displaystyle k^2y^2=k+y+1\) alakból \(\displaystyle 3=k+y\) egyenlet adódik, vagyis vagy \(\displaystyle k=1,y=2\) vagy \(\displaystyle k=2,y=1\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (x,y)=(3,2)\), illetve \(\displaystyle (x,y)=(1,1)\) megoldásokat kapjuk. (A relatív prímségi feltétel is teljesül mindkét esetben.)

Az egyenletnek tehát hat megoldása van, éspedig a következők:

\(\displaystyle (-1,0); (-1,-1); (0,-1); (-2,1); (3,2); (1,1).\)

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Arató Zita, Argay Zsolt, Bán-Szabó Áron, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Bognár 171 András Károly, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Jánosik Máté, Kerekes Boldizsár, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Páhán Anita Dalma, Révész Máté, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Székely Milán, Szemlér Bálint, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Váczy Dorottya, Varga Boldizsár, Velich Nóra.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai