A B. 5129. feladat (2020. november)

B. 5129. Két játékos az $\displaystyle x^3+ax^2+bx+c$ polinom $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ együtthatói közül felváltva választ egyet, majd annak egy tetszőleges egész értékeket ad. Bizonyítsuk be, hogy a kezdő el tudja érni, hogy (a három lépés után) a polinom mindhárom gyöke egész szám legyen (vagyis a polinomot fel lehessen bontani három elsőfokú, egész együtthatós polinom szorzatára).

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. A kezdő első lépése legyen $\displaystyle c:=0$. Így a polinom $\displaystyle x^3+ax^2+bx=x(x^2+ax+b)$ alakú lesz, az egyik gyök már biztosan egész ($\displaystyle 0$).

Ha a második játékos ezután $\displaystyle a$ értékét választja meg, akkor kezdő lépése legyen $\displaystyle b:=0$, a kapott polinom $\displaystyle x^3+ax^2=x^2(x+a)$ alakú, aminek mindhárom gyöke egész (0, 0 és $\displaystyle -a$).

Ha pedig a második játékos $\displaystyle b$ értékét választja meg, akkor kezdő lépése legyen $\displaystyle a:=-b-1$, így a kapott polinom $\displaystyle x^3-(b+1)x^2+bx=x(x-1)(x-b)$, aminek szintén mindhárom gyöke egész (0, 1 és $\displaystyle b$).

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

II. megoldás. Kezdő első lépése legyen $\displaystyle b:=-1$. Miután második megválasztja $\displaystyle a$ vagy $\displaystyle c$ értékét, kezdő a másikat válassza ennek ellentettjének, vagyis úgy, hogy $\displaystyle a+c=0$ teljesüljön. Ekkor a kapott polinom $\displaystyle x^3+ax^2-x-a=(x^2-1)(x+a)=(x+1)(x-1)(x+a)$, aminek a gyökei valóban egészek ($\displaystyle -1$, 1 és $\displaystyle -a$).

Statisztika:

101 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	80 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai