A B. 5129. feladat (2020. november)

B. 5129. Két játékos az \(\displaystyle x^3+ax^2+bx+c\) polinom \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) együtthatói közül felváltva választ egyet, majd annak egy tetszőleges egész értékeket ad. Bizonyítsuk be, hogy a kezdő el tudja érni, hogy (a három lépés után) a polinom mindhárom gyöke egész szám legyen (vagyis a polinomot fel lehessen bontani három elsőfokú, egész együtthatós polinom szorzatára).

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. A kezdő első lépése legyen \(\displaystyle c:=0\). Így a polinom \(\displaystyle x^3+ax^2+bx=x(x^2+ax+b)\) alakú lesz, az egyik gyök már biztosan egész (\(\displaystyle 0\)).

Ha a második játékos ezután \(\displaystyle a\) értékét választja meg, akkor kezdő lépése legyen \(\displaystyle b:=0\), a kapott polinom \(\displaystyle x^3+ax^2=x^2(x+a)\) alakú, aminek mindhárom gyöke egész (0, 0 és \(\displaystyle -a\)).

Ha pedig a második játékos \(\displaystyle b\) értékét választja meg, akkor kezdő lépése legyen \(\displaystyle a:=-b-1\), így a kapott polinom \(\displaystyle x^3-(b+1)x^2+bx=x(x-1)(x-b)\), aminek szintén mindhárom gyöke egész (0, 1 és \(\displaystyle b\)).

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

II. megoldás. Kezdő első lépése legyen \(\displaystyle b:=-1\). Miután második megválasztja \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle c\) értékét, kezdő a másikat válassza ennek ellentettjének, vagyis úgy, hogy \(\displaystyle a+c=0\) teljesüljön. Ekkor a kapott polinom \(\displaystyle x^3+ax^2-x-a=(x^2-1)(x+a)=(x+1)(x-1)(x+a)\), aminek a gyökei valóban egészek (\(\displaystyle -1\), 1 és \(\displaystyle -a\)).

Statisztika:

101 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	80 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai