A B. 5130. feladat (2020. november)

B. 5130. Adott a síkban \(\displaystyle n\) pont úgy, hogy bármely \(\displaystyle k\) (\(\displaystyle k\ge 2\)) darabból kiválasztható kettő, amelyek távolsága legfeljebb egységnyi. Mutassuk meg, hogy a pontok lefedhetők \(\displaystyle k-1\) darab egységnyi sugarú körlappal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszunk ki egy tetszőleges \(\displaystyle P_1\) pontot a megadottak közül, és legyen ő a \(\displaystyle K_1\) egységkör középpontja. Hasonlóan, egy \(\displaystyle K_1\)-en kívül eső \(\displaystyle P_2\) pont legyen a \(\displaystyle K_2\) egységkör középpontja, egy \(\displaystyle K_1\)-en és \(\displaystyle K_2\) is kívül eső \(\displaystyle P_3\) pont a \(\displaystyle K_3\) egységkör középpontja, és így tovább. Az így adódó \(\displaystyle K_1\), \(\displaystyle K_2\), \(\displaystyle K_3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle K_{\ell}\) egységkörök (\(\displaystyle \ell \leqslant n\)) nyilván lefedik a megadott pontokat. Másrészt \(\displaystyle \ell \leqslant k-1\), hiszen \(\displaystyle \ell \geqslant k\) esetén a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle P_k\) pontok olyan \(\displaystyle k\)-ast alkotnának a megadott \(\displaystyle n\) pontból, amelyekben bármely kettőnek a távolsága 1-nél nagyobb, így nem teljesülne a feladat feltétele.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai