A B. 5130. feladat (2020. november)

B. 5130. Adott a síkban $\displaystyle n$ pont úgy, hogy bármely $\displaystyle k$ ($\displaystyle k\ge 2$) darabból kiválasztható kettő, amelyek távolsága legfeljebb egységnyi. Mutassuk meg, hogy a pontok lefedhetők $\displaystyle k-1$ darab egységnyi sugarú körlappal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszunk ki egy tetszőleges $\displaystyle P_1$ pontot a megadottak közül, és legyen ő a $\displaystyle K_1$ egységkör középpontja. Hasonlóan, egy $\displaystyle K_1$-en kívül eső $\displaystyle P_2$ pont legyen a $\displaystyle K_2$ egységkör középpontja, egy $\displaystyle K_1$-en és $\displaystyle K_2$ is kívül eső $\displaystyle P_3$ pont a $\displaystyle K_3$ egységkör középpontja, és így tovább. Az így adódó $\displaystyle K_1$, $\displaystyle K_2$, $\displaystyle K_3$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle K_{\ell}$ egységkörök ($\displaystyle \ell \leqslant n$) nyilván lefedik a megadott pontokat. Másrészt $\displaystyle \ell \leqslant k-1$, hiszen $\displaystyle \ell \geqslant k$ esetén a $\displaystyle P_1$, $\displaystyle P_2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle P_k$ pontok olyan $\displaystyle k$-ast alkotnának a megadott $\displaystyle n$ pontból, amelyekben bármely kettőnek a távolsága 1-nél nagyobb, így nem teljesülne a feladat feltétele.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai