A B. 5131. feladat (2020. november)

B. 5131. Legyen \(\displaystyle H\) egy egységnyi területű szabályos háromszög, \(\displaystyle O\) egy rögzített pont, s tetszőleges \(\displaystyle P\) pontra jelölje \(\displaystyle H_P\) a \(\displaystyle H\) háromszög \(\displaystyle \overrightarrow{OP}\)-vel vett eltoltját. Tekintsük azon \(\displaystyle P\) pontok \(\displaystyle N\) halmazát a síkon, amelyekre a \(\displaystyle H\cap H_P\) metszet területe legalább \(\displaystyle 4/9\). Mennyi \(\displaystyle N\) területe?

Vígh Viktor (Székkutas) ötlete alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a \(\displaystyle H\) csúcsait \(\displaystyle A_1,A_2,A_3\), az ezekkel szemközti oldalakat rendre \(\displaystyle a_1,a_2,a_3\). Az eltolt \(\displaystyle H_P\) háromszögben a megfelelő pontok és oldalak rendre: \(\displaystyle A^P_i\) és \(\displaystyle a^P_i\). Mivel \(\displaystyle O\) áthelyezésével a feladat semmit nem változik, feltehetjük, hogy \(\displaystyle O\) éppen a \(\displaystyle H\) középpontja.

Jelölje továbbá \(\displaystyle m\) a \(\displaystyle H\) háromszög magasságát (ennek konkrét értékére nem lesz szükségünk, de azért megjegyezzük, hogy mivel \(\displaystyle H\) területe egységnyi, így \(\displaystyle m=\sqrt[4]{3}\)).

Az \(\displaystyle \overrightarrow{OP}\) vektornak az \(\displaystyle \overrightarrow{OA_i}\) vektor irányú komponensének előjeles hosszát jelölje \(\displaystyle x_i\). Másképpen \(\displaystyle x_i\) az \(\displaystyle \overrightarrow{OP} \cdot \mathbf{e}_i\) skaláris szorzat értéke, ahol \(\displaystyle \mathbf{e}_i\) az \(\displaystyle \overrightarrow{OA_i}\)-val azonos irányú egységvektor. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = 0\) (ez például onnan látszik, hogy \(\displaystyle \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 = \mathbf{0}\) és a skaláris szorzat disztributív.)

\(\displaystyle x_i\) előjele elárulja, hogy az \(\displaystyle a_i\) oldal az \(\displaystyle \overrightarrow{OP}\) vektorral való eltolásnál milyen irányba indul el. Ha \(\displaystyle x_i>0\), akkor befelé (azaz az \(\displaystyle A_i\) csúcs irányába); ha \(\displaystyle x_i < 0\), akkor kifelé.

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor \(\displaystyle x_1\) a(z egyik) legnagyobb abszolútértékű az \(\displaystyle x_i\)-k közül. Mivel az összeg \(\displaystyle 0\), ezért ilyenkor két eset van:

1. \(\displaystyle x_1 \geq 0 \geq x_2,x_3\), lásd a bal oldali ábrán;
2. \(\displaystyle x_1 \leq 0 \leq x_2, x_3\), lásd a jobb oldali ábrán.

Az 1. esetben az \(\displaystyle a_1\) oldal befele, míg a másik két oldal kifele fog elmozdulni, tehát a \(\displaystyle H \cap H_P\) metszetet a belül levő \(\displaystyle a^P_1,a_2\) és \(\displaystyle a_3\) oldalak egyenesei határozzák meg. Mivel ezek az egyenesek páronként \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöget zárnak be, ezért ha \(\displaystyle x_1 < m\), akkor a \(\displaystyle H \cap H_P\) egy szabályos háromszög lesz, amelynek a magassága éppen \(\displaystyle m-x_1\). Amennyiben \(\displaystyle x_1=m\), akkor a metszet egyetlen pont, ha \(\displaystyle x_1>m\), akkor pedig üres halmaz.

Egy szabályos háromszög területe a magasságának négyzetével arányos. A metszet területe tehát akkor lesz legalább \(\displaystyle \frac49 = \left(\frac{2}{3}\right)^2\), ha \(\displaystyle m-x_1 \geq \frac{2}{3}m\); azaz ha \(\displaystyle x_1 < \frac{m}{3}\).

A 2. esetben az \(\displaystyle a_1\) oldal kifele, míg a másik két oldal befele fog elmozdulni, tehát a \(\displaystyle H \cap H_P\) metszetet a belül levő \(\displaystyle a_1,a^P_2\) és \(\displaystyle a^P_3\) oldalak egyenesei határozzák meg. Mivel ezek az egyenesek páronként \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöget zárnak be, ezért ha \(\displaystyle x_1 > -m\), akkor a \(\displaystyle H \cap H_P\) egy szabályos háromszög lesz, amelynek a magassága éppen \(\displaystyle m-|x_1| = m+x_1\). Amennyiben \(\displaystyle x_1=-m\), akkor a metszet egyetlen pont, ha \(\displaystyle x_1<-m\), akkor pedig üres halmaz.

A metszet területe tehát akkor lesz legalább \(\displaystyle \frac49\), ha \(\displaystyle m+x_1 \geq \frac{2}{3}m\); azaz ha \(\displaystyle x_1 < \frac{m}{3}\).

Gondolatmenetünk ugyanígy alkalmazható azokban az esetekben is, amikor \(\displaystyle |x_2|\) vagy \(\displaystyle |x_3|\) nagyobb, mint \(\displaystyle |x_1|\). Összességében azt kaptuk, hogy a \(\displaystyle H \cap H_P\) metszet területe pontosan akkor lesz legalább \(\displaystyle 4/9\), ha teljesül, hogy

\(\displaystyle \max \{|x_1|,|x_2|,|x_3|\} \leq \frac{m}{3}. \)

Rögzített \(\displaystyle i\)-re az \(\displaystyle |x_i| < \frac{m}{3}\) egyenlőtlenség a \(\displaystyle P\) számára egy \(\displaystyle \frac23m\) széles sávot határoz meg, amelynek középvonala átmegy \(\displaystyle O\)-n. \(\displaystyle N\) ezen három sáv metszete lesz, azaz éppen az a szabályos hatszög, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy \(\displaystyle H\)-ból mindhárom csúcsánál levágunk egy \(\displaystyle \frac19\) területű szabályos háromszöget.

Tehát \(\displaystyle N\) területe \(\displaystyle 1-3 \cdot \frac19 = \frac69\).

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Bognár 171 András Károly, Csonka Illés, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Horváth Áron, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Király Csaba Regő, Kovács 129 Tamás, Kökényesi Márk Péter, Lenkey Gyöngyvér, Lovas Márton, Móra Márton Barnabás, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nyárfádi Patrik, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Révész Máté, Sándor Péter, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Török Ágoston, Virág Rudolf.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai