 |
A B. 5134. feladat (2020. december) |
B. 5134. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre a √3n−5n+1 kifejezés szintén egész.
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(3 pont)
A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A kifejezés pontosan akkor egész, ha a 3n−5n+1 tört egy egész szám négyzete. Először vizsgáljuk meg, mikor lesz a tört értéke egész. Mivel 3n−5n+1=3−8n+1, ezért a tört értéke pontosan akkor egész, ha n+1∣8, vagyis, ha n+1∈{−8,−4,−2,−1,1,2,4,8}. Ezekben az esetekben a tört értéke rendre:
3−(−1)=4, 3−(−2)=5, 3−(−4)=7, 3−(−8)=11, 3−8=−5, 3−4=−1, 3−2=1, 3−1=2.
Ezek közül az első és a hetedik esetben lesz a kifejezés egy egész szám négyzete. Ekkor n értéke −9, illetve 3. (A √3n−5n+1 kifejezés értéke pedig rendre 2, illetve 1.)
Tehát a kifejezés értéke n=−9 és n=3 esetén lesz egész.
Statisztika:
164 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 117 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai
|
|