A B. 5137. feladat (2020. december)

B. 5137. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok körében:

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első és a harmadik egyenlet szorzatából a második négyzetét levonva a jobb oldalon 0-t kapunk:

$\displaystyle (x+y^2)(x^3+y^4)-(x^2+y^3)^2=z^3z^5-(z^4)^2,$

$\displaystyle xy^4+y^2x^3-2x^2y^3=0.$

A bal oldalon $\displaystyle xy^2$-et kiemelve és teljes négyzetté alakítva a másik tényezőt:

$\displaystyle xy^2(y^2+x^2-2xy)=0,$

$\displaystyle xy^2(x-y)^2=0.$

Tehát $\displaystyle x=0$ vagy $\displaystyle y=0$ vagy $\displaystyle x=y$. A három esetet külön-külön megvizsgáljuk.

1. eset: $\displaystyle x=0$.
Ekkor a három egyenlet:

$\displaystyle y^2=z^3,$

$\displaystyle y^3=z^4,$

$\displaystyle y^4=z^5.$

Az első egyenlet négyzetéből a harmadikat levonva:

$\displaystyle (y^2)^2-y^4=(z^3)^2-z^5,$

$\displaystyle 0=z^5(z-1).$

Így $\displaystyle z=0$ vagy $\displaystyle z=1$.

Ha $\displaystyle z=0$, akkor (például) az első egyenletből $\displaystyle y=0$, könnyen ellenőrizhető, hogy $\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)$ valóban megoldás.

Ha $\displaystyle z=1$, akkor a második egyenletből $\displaystyle y=1$, és szintén könnyen ellenőrizhető, hogy $\displaystyle (x,y,z)=(0,1,1)$ is megoldás.

2. eset: $\displaystyle y=0$.
Ekkor a három egyenlet:

$\displaystyle x=z^3,$

$\displaystyle x^2=z^4,$

$\displaystyle x^3=z^5.$

Az első egyenlet négyzetéből a másodikat levonva:

$\displaystyle x^2-x^2=z^6-z^4,$

$\displaystyle 0=z^4(z^2-1).$

Tehát $\displaystyle z=0$ vagy $\displaystyle z=\pm1$. Ha $\displaystyle z=0$, akkor ismét a $\displaystyle (0,0,0)$ megoldást kapjuk (amit korábban is megkaptunk már). Ha $\displaystyle z=1$, akkor az első egyenletből $\displaystyle x=1$, és az $\displaystyle (1,0,1)$ valóban megoldás. Végül, ha $\displaystyle z=-1$, akkor az első egyenletből $\displaystyle x=-1$, és a $\displaystyle (-1,0,-1)$ szintén megoldás.

3. eset: $\displaystyle x=y$.
Ekkor a három egyenlet:

$\displaystyle x+x^2=z^3,$

$\displaystyle x^2+x^3=z^4,$

$\displaystyle x^3+x^4=z^5.$

Az első egyenlet $\displaystyle x$-szereséből a másodikat levonva:

$\displaystyle 0=z^3x-z^4$

$\displaystyle 0=z^3(z-x)$

Tehát $\displaystyle z=0$ vagy $\displaystyle z=x$. Ha $\displaystyle z=0$, akkor az első egyenlet szerint $\displaystyle x+x^2=0$, vagyis $\displaystyle x=0$ vagy $\displaystyle x=-1$. Ellenőrzés alapján $\displaystyle (0,0,0)$ és $\displaystyle (-1,-1,0)$ valóban megoldások. (Ezek közül $\displaystyle (0,0,0)$-t már korábban is megkaptuk.)

Ha $\displaystyle z=x$, akkor az első egyenlet $\displaystyle x+x^2=x^3$ alakban írható, a második egyenlet ennek $\displaystyle x$-szerese, a harmadik pedig $\displaystyle x^2$-szerese, így elég azt vizsgálni, az első mikor teljesül. Ha $\displaystyle x=0$, akkor igen, ebből ismét megkapjuk a $\displaystyle (0,0,0)$ megoldást. Végül, ha $\displaystyle x\ne 0$, akkor az $\displaystyle 1+x=x^2$ másodfokú egyenletet megoldva kapjuk az $\displaystyle x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ és az $\displaystyle x=y=z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ megoldásokat.

Tehát az egyenletrendszernek hét megoldása van, éspedig:

$\displaystyle (0,0,0)$, $\displaystyle (0,1,1)$, $\displaystyle (1,0,1)$, $\displaystyle (-1,0,-1)$, $\displaystyle (-1,-1,0)$, $\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$, $\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai