A B. 5139. feladat (2020. december)

B. 5139. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög átlóinak metszéspontja $\displaystyle M$. Az $\displaystyle ADM$ háromszög területe nagyobb a $\displaystyle BCM$ háromszög területénél. A négyszög $\displaystyle BC$ oldalának felezőpontja $\displaystyle P$, $\displaystyle AD$ oldalának felezőpontja pedig $\displaystyle Q$, $\displaystyle AP+AQ=\sqrt2$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az $\displaystyle ABCD$ négyszög területe kisebb, mint 1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABCD$ négyszög területét az $\displaystyle APQ$ háromszög területével fogjuk összehasonlítani. A különböző három- és négyszögek területét $\displaystyle [...]$ fogja jelölni.

A feltétel szerint $\displaystyle [ADM]>[BCM]$, ezért

Az $\displaystyle ABD$, $\displaystyle ACD$ és $\displaystyle APD$ háromszögek $\displaystyle AD$ oldala közös. Mivel $\displaystyle P$ a $\displaystyle BC$ szakasz felezőpontja, a $\displaystyle P$ pont távolsága az $\displaystyle AD$ egyenestől megyegyezik a $\displaystyle B$ és a $\displaystyle C$ pontoknak az $\displaystyle AD$ egyenestől mért távolságainak átlagával, ezért

Az $\displaystyle APQ$ és az $\displaystyle APD$ háromszögeknek a $\displaystyle P$-ből induló magassága közös, a $\displaystyle P$-vel szemközti oldalaik aránya $\displaystyle AQ:AD=1:2$; ebből láthatjuk, hogy

Az $\displaystyle APQ$ háromszög területét megbecsüljük az $\displaystyle AP$ és $\displaystyle AQ$ oldalak szorzatával, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az $\displaystyle AP$ és $\displaystyle AQ$ távolságokra:

Az (1–4) összefüggéseket kombinálva:

$\displaystyle [ABCD] < [ABD]+[ACD] = 2[APD] = 4[APQ] \le 4\cdot\frac14 = 1.$

Ezzel igazoltuk, hogy $\displaystyle [ABCD]<1$.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Bognár 171 András Károly, Csilling Dániel, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Feczkó Nóra, Fekete Richárd, Hajdú Bálint, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Török Ágoston, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Boldizsár.
4 pontot kapott:	Andó Viola, Győrffi Ádám György, Rareș Polenciuc, Sógor Bence, Velich Nóra.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai