 |
A B. 5139. feladat (2020. december) |
B. 5139. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ADM\) háromszög területe nagyobb a \(\displaystyle BCM\) háromszög területénél. A négyszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle P\), \(\displaystyle AD\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle AP+AQ=\sqrt2\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területét az \(\displaystyle APQ\) háromszög területével fogjuk összehasonlítani. A különböző három- és négyszögek területét \(\displaystyle [...]\) fogja jelölni.
A feltétel szerint \(\displaystyle [ADM]>[BCM]\), ezért
| \(\displaystyle [ABCD] = [ABD]+[BCM]+[CDM] < [ABD]+[ADM]+[CDM] = [ABD]+[ACD]. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Az \(\displaystyle ABD\), \(\displaystyle ACD\) és \(\displaystyle APD\) háromszögek \(\displaystyle AD\) oldala közös. Mivel \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja, a \(\displaystyle P\) pont távolsága az \(\displaystyle AD\) egyenestől megyegyezik a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) pontoknak az \(\displaystyle AD\) egyenestől mért távolságainak átlagával, ezért
| \(\displaystyle [ABD]+[ACD] = 2[APD]. \) | \(\displaystyle (2) \) |
Az \(\displaystyle APQ\) és az \(\displaystyle APD\) háromszögeknek a \(\displaystyle P\)-ből induló magassága közös, a \(\displaystyle P\)-vel szemközti oldalaik aránya \(\displaystyle AQ:AD=1:2\); ebből láthatjuk, hogy
| \(\displaystyle [APD] = 2[APQ]. \) | \(\displaystyle (3) \) |
Az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét megbecsüljük az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle AQ\) oldalak szorzatával, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle AQ\) távolságokra:
| \(\displaystyle [APQ] \le \frac12\cdot AP\cdot AQ \le \frac12\left(\frac{AP+AQ}{2}\right)^2 = \frac12\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac14. \) | \(\displaystyle (4) \) |
Az (1–4) összefüggéseket kombinálva:
\(\displaystyle [ABCD] < [ABD]+[ACD] = 2[APD] = 4[APQ] \le 4\cdot\frac14 = 1. \)
Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle [ABCD]<1\).
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Bognár 171 András Károly, Csilling Dániel, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Feczkó Nóra, Fekete Richárd, Hajdú Bálint, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Török Ágoston, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Boldizsár. 4 pontot kapott: Andó Viola, Győrffi Ádám György, Rareș Polenciuc, Sógor Bence, Velich Nóra. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai