A B. 5143. feladat (2021. január)

B. 5143. Oldjuk meg a $\displaystyle 16x^2+9x+117=24x\sqrt{x+13}$ egyenletet a valós számok körében.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük az egyenletet úgy, hogy a jobb oldalon $\displaystyle 0$ álljon és emeljünk ki a ($\displaystyle 9x+117$)-ből $\displaystyle 9$-et.

Ezután már észrevehető, hogy teljes négyzetté lehet alakítani az algebrai kifejezést:

$\displaystyle 16x^2-24x\sqrt{x+13}+9(x+13)=0,$

$\displaystyle (4x)^2-2\cdot 4x\cdot 3\sqrt{x+13}+(3\sqrt{x+13})^2=0,$

$\displaystyle (4x-3\sqrt{x+13})^2=0,$

$\displaystyle 4x=3\sqrt{x+13}.$

A jobb oldalon szereplő gyökös kifejezés miatt a a bal oldalon is nemnegatív számnak kell lennie, így $\displaystyle x\ge 0$. A négyzetre emelés után kapott másodfokú egyenlet

$\displaystyle 16x^2-9x-117=0,$

amelynek pozitv megoldása $\displaystyle x=3$. Behelyettesítéssel azonnal adódik, hogy ez valóban megoldás is.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	89 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai