A B. 5144. feladat (2021. január)

B. 5144. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög területe $\displaystyle t$, egy belső pontja $\displaystyle O$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle 2t\le OA^2+OB^2+OC^2+OD^2.$

Mikor áll fenn egyenlőség?

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Kössük össze az $\displaystyle O$ belső pontot a csúcsokkal, így a négyszöget négy háromszögre bontottuk fel.

A négyszög területe a négy háromszög területének összege. A háromszögek területét a trigonometrikus területképlettel írjuk fel az ábra szerinti jelölésekkel. Rögtön a kétszeres területre térve nem kell $\displaystyle 2$-vel osztanunk az egyes területeknél:

$\displaystyle 2t=OA\cdot OB\sin\alpha+OB\cdot OC\sin\beta+OC\cdot OD\sin\gamma+OD\cdot OA\sin\delta.$

A szögek szinusza legfeljebb $\displaystyle 1$, így azonnal egy felső becslést kapunk, ha mindegyik helyébe $\displaystyle 1$-et írunk:

$\displaystyle 2t\le OA\cdot OB+OB\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot OA.$

A számtani- és mértani közép közötti egyenlőtlenség felhasználásával (illetve az ezzel ekvivalens tény alapján, hogy $\displaystyle (x-y)^2\ge 0$ átrendezésével $\displaystyle xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$):

$\displaystyle 2t\le \frac{OA^2+OB^2}{2}+\frac{OB^2+OC^2}{2}+\frac{OC^2+OD^2}{2}+\frac{OD^2+OA^2}{2}=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2.$

Ez a bizonyítandó állítás.

Két helyen alkalmaztunk felső becslést. Az első esetben, a trigonometrikus területképletek után akkor van egyenlőség, ha a szinuszértékek mindegyike pontosan $\displaystyle 1$, vagyis az $\displaystyle O$ pont a négyszög egymásra merőleges átlóinak metszéspontja, míg a második esetben, a számtani-mértani középnél akkor, ha a $\displaystyle OA=OB=OC=OD$, vagyis a két feltétel alapján akkor, ha az $\displaystyle ABCD$ négyszög négyzet, és $\displaystyle O$ a középpontja.

Megjegyzés. Az állítás konkáv négyszögre is teljesül. Ha az $\displaystyle O$ ponttal úgy tudjuk négy háromszögre bontani a négyszöget, mint a konvex esetnél, akkor a bizonyítás azzal teljesen megegyező. Lehetséges viszont, hogy az $\displaystyle O$ pont úgy helyezkedik el, hogy az egyik csúccsal összekötő szakasz belső pontban metszi az egyik oldalt. Ekkor az ábra szerinti jelölésekkel betűzzünk és essen az $\displaystyle O$ pont az $\displaystyle ABC$ háromszög belsejébe, úgy, hogy az $\displaystyle OD$ szakasz metszi a $\displaystyle BC$ oldalt.

Ekkor A négyszög területét úgy kapjuk, hogy az $\displaystyle AOB, BOC$ és $\displaystyle ODA$ háromszögek területének összegéből levonjuk az $\displaystyle OCD$ háromszög területét. A kétszeres terület kiszámítása így módosul:

$\displaystyle 2t=OA\cdot OB\sin\alpha+OB\cdot OC\sin\beta-OC\cdot OD\sin\gamma+OD\cdot OA\sin\delta.$

A felső becslésnél már írhatunk plusz előjelet, és végig igazak maradnak az első esetnél leírtak, kivéve természetesen azt a tényt, hogy itt nem léphet fel egyenlőség.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	65 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai