A B. 5150. feladat (2021. február)

B. 5150. Igazoljuk, hogy csak véges sok olyan pozitív egész szám van, amelyet nem lehet megkapni úgy, hogy egy kisebb számhoz hozzáadjuk annak valamelyik számjegyét. Melyik a legnagyobb ezek közül?

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során azt fogjuk megmutatni, hogy a legnagyobb ilyen szám a 87.

Vizsgáljuk az eseteket aszerint, hogy mi az utolsó számjegy.

Ha az utolsó számjegy 0, akkor az 5-tel kisebb szám 5-re végződik, így ehhez 5-öt adva megkaphatjuk a számot.

Ha az utolsó számjegy páros, de nem 0, mondjuk \(\displaystyle 2k\) (ahol \(\displaystyle k\in\{1,2,3,4\}\)), akkor a \(\displaystyle k\)-val kisebb szám \(\displaystyle k\)-ra végződik, így ehhez \(\displaystyle k\)-t adva kapjuk a kívánt előállítást.

Az eddigiek alapján minden páros pozitív egész szám megkapható az előírt módon. Folytassuk a páratlan számok vizsgálatával.

Az utolsó jegy elhagyásával kapott számot jelölje \(\displaystyle n\).

Ha az utolsó jegy 9-es, akkor a számunk \(\displaystyle 10n+9\). Ha a szám éppen a 9, akkor nincs megfelelő előállítás, hiszen csak egyjegyű számból kaphatnánk meg, viszont egy ilyenhez mindig saját magát kell hozzáadni, amivel csak páros számokat kaphatunk. Ha a szám nem a 9, akkor legyen \(\displaystyle t\) az \(\displaystyle n\) szám egyik nemnulla jegye. A \(\displaystyle 10n+9-t\) szám az eredetiből úgy kapható, hogy az utolsó 9-es jegyet csökkentjük \(\displaystyle t\)-vel, vagyis a kapott szám egyik jegye is \(\displaystyle t\) (hiszen \(\displaystyle 10n+9-t\) utolsó jegyét törölve \(\displaystyle n\)-et kapjuk), ehhez \(\displaystyle t\)-t adva adódik a megfelelő előállítás.

Ha az utolsó jegy 7-es, akkor a számunk \(\displaystyle 10n+7\). Könnyen látható, hogy a 7 nem kapható meg a kívánt módon, a továbbiakban feltesszük, hogy a szám nem a 7, vagyis \(\displaystyle n\) pozitív egész szám.

Ha az \(\displaystyle n\) szám jegyei között szerepel az \(\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7\) jegyek valamelyike, akkor ezt \(\displaystyle t\)-vel jelölve a \(\displaystyle 10n+7-t\) számban szintén szerepel (ugyanazon a helyiértéken), így ehhez \(\displaystyle t\)-t adva megkapjuk számunkat. Ellenkező esetben \(\displaystyle n\) minden számjegye \(\displaystyle 0,8,9\) valamelyike. Speciálisan, a legnagyobb helyiértéken álló jegye 8 vagy 9. Ha a szám értékét 8-cal vagy 9-cel csökkentjük, majd elhagyjuk az 1-esek helyén álló számot (ami 9 vagy 8), akkor az \(\displaystyle n-1\) számot kapjuk. Ha \(\displaystyle n-1\) legnagyobb helyiértéken álló jegye, amit jelöljön \(\displaystyle v\), a 8 vagy 9 valamelyike, akkor \(\displaystyle 10n+7-v\) egyik számjegye a \(\displaystyle v\), így az eredeti szám előállítható \(\displaystyle 10n+7-v\) és \(\displaystyle v\) összegeként. Az \(\displaystyle n-1\) szám legnagyobb helyiértéken lévő jegye csak úgy lehet 8-tól és 9-től is különböző, ha eredetileg 8 volt, és \(\displaystyle n=8{0\dots0}\) alakú, ahol a 0-k száma akár 0 is lehet. Ha legalább egy 0 van, akkor \(\displaystyle n-1=79\dots9\) alakú, ahol legalább egy 9-es van, így a \(\displaystyle (10n+7-9)+9\) előállítás megfelelő. Ha nincs egyetlen 0 sem, akkor \(\displaystyle n-1=7\), vagyis a számunk a 87. Ez a szám valóban nem kapható meg a 78, 79, ..., 86 egyikéből sem (márpedig egyetlen számjegy hozzáadásával legfeljebb 9-cel nőhet egy szám). Tehát a 7-re végződő számok közül pontosan a 7 és a 87 nem állnak elő.

Ha az utolsó jegy 5-ös, akkor a számunk \(\displaystyle 10n+5\). Könnyen látható, hogy az 5 nem kapható meg a kívánt módon, a továbbiakban feltesszük, hogy a szám nem az 5, vagyis \(\displaystyle n\) pozitív egész szám.

Ha az \(\displaystyle n\) szám jegyei között szerepel az \(\displaystyle 1,2,3,4,5\) jegyek valamelyike, akkor ezt \(\displaystyle t\)-vel jelölve a \(\displaystyle 10n+5-t\) számban szintén szerepel (ugyanazon a helyiértéken), így ehhez \(\displaystyle t\)-t adva megkapjuk számunkat. Ellenkező esetben \(\displaystyle n\) minden számjegye \(\displaystyle 0,6,7,8,9\) valamelyike. Speciálisan, a legnagyobb helyiértéken álló jegye a \(\displaystyle 6,7,8,9\) valamelyike. Ha a szám értékét \(\displaystyle 6,7,8,9\) valamelyikével csökkentjük, és elhagyjuk az 1-esek helyén álló számot (ami 9, 8, 7, 6 valamelyike), akkor az \(\displaystyle n-1\) számot kapjuk. Ha \(\displaystyle n-1\) legnagyobb helyiértéken álló jegye, amit jelöljön \(\displaystyle v\), a \(\displaystyle 6,7,8,9\) valamelyike, akkor \(\displaystyle 10n+5-v\) egyik számjegye a \(\displaystyle v\), így az eredeti szám előállítható \(\displaystyle 10n+5-v\) és \(\displaystyle v\) összegeként. Az \(\displaystyle n-1\) szám legnagyobb helyiértéken lévő jegye csak úgy lehet \(\displaystyle 6,7,8,9\) mindegyikétől különböző, ha eredetileg 6 volt, és \(\displaystyle n=6{0\dots0}\) alakú, ahol a 0-k száma akár 0 is lehet. Ha legalább egy 0 van, akkor \(\displaystyle n-1=59\dots9\) alakú, ahol legalább egy 9-es van, így a \(\displaystyle (10n+5-9)+9\) előállítás megfelelő. Ha nincs egyetlen 0 sem, akkor \(\displaystyle n-1=5\), vagyis a számunk a 65. Ez a szám valóban nem kapható meg az 56, 57, ..., 64 egyikéből sem (márpedig egyetlen számjegy hozzáadásával legfeljebb 9-cel nőhet egy szám). Tehát az 5-re végződő számok közül pontosan az 5 és a 65 nem állnak elő.

Az előzőekhez hasonlóan kapjuk, hogy a 3-ra végződőek közül pontosan a 3 és a 43, az 1-re végződőek közül pedig pontosan az 1 és a 21 nem állnak elő a kívánt módon.

Beláttuk, hogy pontosan a következő számok nem kaphatók meg az előírt módon: \(\displaystyle 1,3,5,7,9,21,43,65,87\). Tehát a legnagyobb olyan pozitív egész, ami nem kapható meg, a 87.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	89 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai