A B. 5151. feladat (2021. február)

B. 5151. Igazoljuk, hogy ha $\displaystyle a^2=b^2+ac=c^2+ab$, akkor az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számok közül valamelyik kettő egyenlő.

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle b^2+ac=c^2+ab$ egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:

$\displaystyle b^2-c^2+ac-ab=0,$

$\displaystyle (b-c)(b+c-a)=0.$

Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle b=c$ vagy $\displaystyle b+c-a=0$. Előbbi esetben készen vagyunk, tegyük fel tehát, hogy $\displaystyle b+c-a=0$, azaz $\displaystyle a=b+c$. Ezt az $\displaystyle a^2=b^2+ac$ egyenletbe behelyettesítve:

$\displaystyle (b+c)^2=b^2+(b+c)c,$

$\displaystyle b^2+2bc+c^2=b^2+bc+c^2,$

$\displaystyle bc=0.$

Mivel $\displaystyle a=b+c$, valamint $\displaystyle bc=0$ alapján $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ valamelyike biztosan 0, így $\displaystyle a$ megegyezik $\displaystyle b$-vel vagy $\displaystyle c$-vel.

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Megjegyzés. A feltételeknek eleget tevő $\displaystyle (a,b,c)$ hármasok a fentiek alapján könnyen meg is kereshetők. Ha $\displaystyle b=c$, akkor az $\displaystyle a^2=b^2+ab$ másodfokú egyenletet megoldva: $\displaystyle a=\frac{b\pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2}=\frac{b\pm \sqrt{5}b}{2}$ alapján az $\displaystyle (\frac{1+\sqrt5}{2}b,b,b)$, $\displaystyle (\frac{1-\sqrt5}{2}b,b,b)$ alakú hármasokat kapjuk.

Ha pedig $\displaystyle a=b+c$, akkor $\displaystyle bc=0$ alapján az $\displaystyle (a,0,a)$, $\displaystyle (a,a,0)$ alakú hármasokat kapjuk.

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	101 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai