A B. 5153. feladat (2021. február)

B. 5153. Legyenek $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ egy egységnyi oldalú szabályos háromszög csúcsai, míg $\displaystyle D$ egy pont az $\displaystyle AB$ oldal $\displaystyle B$-n túli meghosszabbításán. A $\displaystyle BC$ szakaszra $\displaystyle B$-ben állított merőleges a $\displaystyle CD$ szakaszt az $\displaystyle E$ pontban metszi. Határozzuk meg a $\displaystyle CE$ szakasz hosszát, ha $\displaystyle ED=1$.

Javasolta: Szilassi Lajos és Tarcsay Tamás (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle B$ pont $\displaystyle A$-ra vonatkozó tükörképét jelölje $\displaystyle B'$. Legyen továbbá $\displaystyle x=EC$.

Az $\displaystyle AB'C$ háromszög egyenlő szárú, $\displaystyle B'A=AB=AC=1$, $\displaystyle CB'A\sphericalangle = B'CA\sphericalangle = \frac{1}{2}CAB\sphericalangle = 30^{\circ}$, ezért $\displaystyle B'C=\sqrt{3}$. Továbbá $\displaystyle CB'D\sphericalangle = 30^{\circ} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - (EBC\sphericalangle + CBA\sphericalangle) = DBE\sphericalangle$. Így a $\displaystyle DB'C$ és $\displaystyle EBD$ háromszögek hasonlók, következésképpen

$\displaystyle \frac{CB'}{CD} = \frac{EB}{DE},$

tehát Pitagorasz tétele és a feladat feltételei alapján

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{x+1} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}.$

Négyzetre emelve, rendezve, majd szorzattá alakítva:

$\displaystyle \frac{3}{x^2+2x+1} = \frac{x^2-1}{1},$

$\displaystyle 3 = (x^2+2x+1)(x^2-1),$

$\displaystyle 0=x^4 + 2x^3 - 2x -4 = (x+2)(x^3 - 2).$

A kapott egyenlet egyetlen pozitív megoldása $\displaystyle EC=x=\root {3}\of {2}$.

Megjegyzés. A feladat kitűzői a probléma matematikatörténeti vonatkozásaira szeretnék felhívni az érdeklődők figyelmét:

Egy KöMaL feladat, és ami mögötte van....
A neuszisz vonalzó

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai