A B. 5154. feladat (2021. február)

B. 5154. Adjuk meg az összes olyan pozitív egészeken értelmezett, pozitív egész értékű $\displaystyle f$ függvényt, amelyre $\displaystyle f\big(f(n)\big)=2n$ és $\displaystyle f(4n-3)=4n-1$ teljesül bármely pozitív egész $\displaystyle n$ esetén.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy $\displaystyle f$ a páratlan helyeken egyértelműen meghatározott. Ha egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 1, akkor $\displaystyle 4n-3$ alakban írható és a feltétel alapján $\displaystyle f(4n-3)=4n-1$. Ha pedig egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 3, akkor $\displaystyle 4n-1$ alakban írható és $\displaystyle f(4n-1)=f(f(4n-3))=2(4n-3)$ a megadott feltételeket használva.

Az $\displaystyle f(f(k))=2k$ összefüggést először $\displaystyle k=n$-re, majd $\displaystyle k=f(n)$-re alkalmazva kapjuk, hogy

$\displaystyle f(2n)=f(f(f(n)))=2f(n).$

Ennek ismételt alkalmazásával kapható, hogy $\displaystyle f(2^{\alpha}n)=2f(2^{\alpha-1}n)=\dots=2^{\alpha}f(n)$. Mivel $\displaystyle 2^{\alpha}n$ alakban minden páros szám előállítható páratlan $\displaystyle n$ mellett ($\displaystyle \alpha$ éppen a 2 kitevője a szám prímtényezős felbontásában), ezért a függvény a páros helyeken is egyértelműen meghatározott.

Az eddigieket összefoglalva tehát: minden pozitív egész szám (egyértelműen) felírható vagy $\displaystyle 2^{\alpha}(4n-3)$ vagy $\displaystyle 2^{\alpha}(4n-1)$ alakban, ahol $\displaystyle \alpha$ nemnegatív egész szám, $\displaystyle n$ pedig pozitív egész szám. ($\displaystyle 2^\alpha$ a szám legnagyobb 2-hatvány osztója, $\displaystyle 4n-3$ vagy $\displaystyle 4n-1$ pedig a szám legnagyobb páratlan osztója, vagyis a szám páratlan része.) Ezen alakot használva a függvény a következő alakban írható:

Meg kell még mutatnunk, hogy ez a függvény megfelelő. Világos, hogy pozitív egész számokhoz rendel pozitív egész számokat.

A $\displaystyle 4n-3$ szám előállítása a fenti alakban $\displaystyle 4n-3=2^0(4n-3)$, így $\displaystyle f(4n-3)=2^0(4n-1)=4n-1$, vagyis ez a feltétel teljesül.

Az $\displaystyle f(f(n))=2n$ feltétel ellenőrzéséhez írjuk $\displaystyle n$-et $\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-3)$ vagy $\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-1)$ alakban, ahol $\displaystyle \alpha$ nemnegatív egész, $\displaystyle k$ pozitív egész. Előbbi esetben

$\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-3)))=f(2^{\alpha}(4k-1))=2^{\alpha+1}(4k-3)=2n,$

utóbbi esetben pedig

$\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-1)))=f(2^{\alpha+1}(4k-3))=2^{\alpha+1}(4k-1)=2n,$

vagyis az előírt feltétel mindenképpen teljesül.

Ezzel megmutattuk, hogy egyetlen megfelelő függvény van, éspedig az, melyet a $\displaystyle (*)$ képletek adnak meg.

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Beinschroth Ninett, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Hegedűs Dániel, Inokai Dávid, Jan Engler, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Király Csaba Regő, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Kökényesi Márk Péter, Köpenczei Csanád, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nyárfádi Patrik, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Sipeki Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Trombitás Karolina Sarolta, Velich Nóra, Világi Áron, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai