A B. 5154. feladat (2021. február)

B. 5154. Adjuk meg az összes olyan pozitív egészeken értelmezett, pozitív egész értékű \(\displaystyle f\) függvényt, amelyre \(\displaystyle f\big(f(n)\big)=2n\) és \(\displaystyle f(4n-3)=4n-1\) teljesül bármely pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle f\) a páratlan helyeken egyértelműen meghatározott. Ha egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 1, akkor \(\displaystyle 4n-3\) alakban írható és a feltétel alapján \(\displaystyle f(4n-3)=4n-1\). Ha pedig egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 3, akkor \(\displaystyle 4n-1\) alakban írható és \(\displaystyle f(4n-1)=f(f(4n-3))=2(4n-3)\) a megadott feltételeket használva.

Az \(\displaystyle f(f(k))=2k\) összefüggést először \(\displaystyle k=n\)-re, majd \(\displaystyle k=f(n)\)-re alkalmazva kapjuk, hogy

\(\displaystyle f(2n)=f(f(f(n)))=2f(n).\)

Ennek ismételt alkalmazásával kapható, hogy \(\displaystyle f(2^{\alpha}n)=2f(2^{\alpha-1}n)=\dots=2^{\alpha}f(n)\). Mivel \(\displaystyle 2^{\alpha}n\) alakban minden páros szám előállítható páratlan \(\displaystyle n\) mellett (\(\displaystyle \alpha\) éppen a 2 kitevője a szám prímtényezős felbontásában), ezért a függvény a páros helyeken is egyértelműen meghatározott.

Az eddigieket összefoglalva tehát: minden pozitív egész szám (egyértelműen) felírható vagy \(\displaystyle 2^{\alpha}(4n-3)\) vagy \(\displaystyle 2^{\alpha}(4n-1)\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha\) nemnegatív egész szám, \(\displaystyle n\) pedig pozitív egész szám. (\(\displaystyle 2^\alpha\) a szám legnagyobb 2-hatvány osztója, \(\displaystyle 4n-3\) vagy \(\displaystyle 4n-1\) pedig a szám legnagyobb páratlan osztója, vagyis a szám páratlan része.) Ezen alakot használva a függvény a következő alakban írható:

Meg kell még mutatnunk, hogy ez a függvény megfelelő. Világos, hogy pozitív egész számokhoz rendel pozitív egész számokat.

A \(\displaystyle 4n-3\) szám előállítása a fenti alakban \(\displaystyle 4n-3=2^0(4n-3)\), így \(\displaystyle f(4n-3)=2^0(4n-1)=4n-1\), vagyis ez a feltétel teljesül.

Az \(\displaystyle f(f(n))=2n\) feltétel ellenőrzéséhez írjuk \(\displaystyle n\)-et \(\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-3)\) vagy \(\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-1)\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha\) nemnegatív egész, \(\displaystyle k\) pozitív egész. Előbbi esetben

\(\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-3)))=f(2^{\alpha}(4k-1))=2^{\alpha+1}(4k-3)=2n,\)

utóbbi esetben pedig

\(\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-1)))=f(2^{\alpha+1}(4k-3))=2^{\alpha+1}(4k-1)=2n,\)

vagyis az előírt feltétel mindenképpen teljesül.

Ezzel megmutattuk, hogy egyetlen megfelelő függvény van, éspedig az, melyet a \(\displaystyle (*)\) képletek adnak meg.

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Beinschroth Ninett, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Hegedűs Dániel, Inokai Dávid, Jan Engler, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Király Csaba Regő, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Kökényesi Márk Péter, Köpenczei Csanád, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Márton Kristóf, Metzger Ábris András, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Nádor Benedek, Nagy 429 Leila, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Nyárfádi Patrik, Osztényi József, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Seres-Szabó Márton, Simon László Bence, Sipeki Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tóth 057 Bálint, Trombitás Karolina Sarolta, Velich Nóra, Világi Áron, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai