A B. 5155. feladat (2021. február)

B. 5155. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszögnek nincsenek párhuzamos oldalai, az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ egyenesek metszéspontja $\displaystyle M$. Az $\displaystyle AB$ oldal belsejében az $\displaystyle X$, a $\displaystyle CD$ oldal belsejében pedig az $\displaystyle Y$ pont úgy mozog, hogy közben $\displaystyle AX:XB=DY:YC$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle MXY$ köröknek van még egy, $\displaystyle M$-től különböző közös pontja.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$, továbbá $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok felcserélésével az állítás önmagába megy át, ezért elég az állítást abban az esetben igazolnunk, amikor az $\displaystyle M$ pont a $\displaystyle BA$ és $\displaystyle CD$ félegyeneseken van. Legyen $\displaystyle \alpha=BMC\sphericalangle$.

Tekintsük azt a $\displaystyle \varphi$ forgatva nyújtást, amely az $\displaystyle A$ pontot $\displaystyle D$-be, a $\displaystyle B$ pontot pedig a $\displaystyle C$ pontba viszi, tehát $\displaystyle \varphi(A)=D$ és $\displaystyle \varphi(B)=C$. A $\displaystyle \varphi$ középpontját jelöljük $\displaystyle Q$-val; azt fogjuk megmutatni, hogy az $\displaystyle MXY$ köröknek $\displaystyle Q$ a közös pontja.

Meg kell jegyeznünk, hogy a forgatva nyújtás középpontja nem lehet az $\displaystyle M$ pont: ha a középpont az $\displaystyle M$ lenne, akkor $\displaystyle MA:MB=MD:MC$ lenne, akkor viszont a párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ egyenesek párhuzamosak lennének, márpedig a feladat kikötötte, hogy az $\displaystyle ABCD$ négyszögnek nincsenek párhuzamos oldalai. Ezért $\displaystyle M$ és $\displaystyle Q$ két különböző pont.

Az $\displaystyle X$ és az $\displaystyle Y$ pont azonos arányban osztja az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle DC$ szakaszokat, ezért ezek egymás képei: $\displaystyle \varphi(X)=Y$. A forgatva nyújtásnak az (irányított) szöge az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ szakaszok szöge, vagyis $\displaystyle \alpha$; ezért $\displaystyle XQY\sphericalangle = \alpha = BMC\sphericalangle = XMY\sphericalangle$. Ezeknek a szögeknek az irányítása is megegyezik, ezért az $\displaystyle X,Y,M,Q$ pontok valóban egy körön vannak.

Megjegyzés. Az $\displaystyle MXY$ körök két fontos határesete (az $\displaystyle X=A$, $\displaystyle Y=D$, illetve az $\displaystyle X=B$, $\displaystyle Y=C$ esetekben) az $\displaystyle MAD$ és az $\displaystyle MBC$ kör. Ezért a $\displaystyle Q$ pont az $\displaystyle MAD$ és $\displaystyle MBC$ körök második, $\displaystyle M$-től különböző metszéspontja.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kökényesi Márk Péter, Metzger Ábris András, Mohay Lili Veronika, Nagy 551 Levente, Páhán Anita Dalma, Simon László Bence, Terjék András József, Varga Boldizsár.
4 pontot kapott:	Beinschroth Ninett, Ben Gillott, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Kovács 129 Tamás, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Németh Márton, Rareș Polenciuc, Sándor Péter, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Velich Nóra, Virág Rudolf.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai