A B. 5155. feladat (2021. február)

B. 5155. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögnek nincsenek párhuzamos oldalai, az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle AB\) oldal belsejében az \(\displaystyle X\), a \(\displaystyle CD\) oldal belsejében pedig az \(\displaystyle Y\) pont úgy mozog, hogy közben \(\displaystyle AX:XB=DY:YC\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle MXY\) köröknek van még egy, \(\displaystyle M\)-től különböző közös pontja.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), továbbá \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok felcserélésével az állítás önmagába megy át, ezért elég az állítást abban az esetben igazolnunk, amikor az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle BA\) és \(\displaystyle CD\) félegyeneseken van. Legyen \(\displaystyle \alpha=BMC\sphericalangle\).

Tekintsük azt a \(\displaystyle \varphi\) forgatva nyújtást, amely az \(\displaystyle A\) pontot \(\displaystyle D\)-be, a \(\displaystyle B\) pontot pedig a \(\displaystyle C\) pontba viszi, tehát \(\displaystyle \varphi(A)=D\) és \(\displaystyle \varphi(B)=C\). A \(\displaystyle \varphi\) középpontját jelöljük \(\displaystyle Q\)-val; azt fogjuk megmutatni, hogy az \(\displaystyle MXY\) köröknek \(\displaystyle Q\) a közös pontja.

Meg kell jegyeznünk, hogy a forgatva nyújtás középpontja nem lehet az \(\displaystyle M\) pont: ha a középpont az \(\displaystyle M\) lenne, akkor \(\displaystyle MA:MB=MD:MC\) lenne, akkor viszont a párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) egyenesek párhuzamosak lennének, márpedig a feladat kikötötte, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszögnek nincsenek párhuzamos oldalai. Ezért \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle Q\) két különböző pont.

Az \(\displaystyle X\) és az \(\displaystyle Y\) pont azonos arányban osztja az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DC\) szakaszokat, ezért ezek egymás képei: \(\displaystyle \varphi(X)=Y\). A forgatva nyújtásnak az (irányított) szöge az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok szöge, vagyis \(\displaystyle \alpha\); ezért \(\displaystyle XQY\sphericalangle = \alpha = BMC\sphericalangle = XMY\sphericalangle\). Ezeknek a szögeknek az irányítása is megegyezik, ezért az \(\displaystyle X,Y,M,Q\) pontok valóban egy körön vannak.

Megjegyzés. Az \(\displaystyle MXY\) körök két fontos határesete (az \(\displaystyle X=A\), \(\displaystyle Y=D\), illetve az \(\displaystyle X=B\), \(\displaystyle Y=C\) esetekben) az \(\displaystyle MAD\) és az \(\displaystyle MBC\) kör. Ezért a \(\displaystyle Q\) pont az \(\displaystyle MAD\) és \(\displaystyle MBC\) körök második, \(\displaystyle M\)-től különböző metszéspontja.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Csizmadia Miklós, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kökényesi Márk Péter, Metzger Ábris András, Mohay Lili Veronika, Nagy 551 Levente, Páhán Anita Dalma, Simon László Bence, Terjék András József, Varga Boldizsár.
4 pontot kapott:	Beinschroth Ninett, Ben Gillott, Bencsik Ádám, Bencsik Dávid, Kovács 129 Tamás, Mácsai Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Németh Márton, Rareș Polenciuc, Sándor Péter, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Velich Nóra, Virág Rudolf.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai