A B. 5158. feladat (2021. március)

B. 5158. Az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontokra a síkon $\displaystyle AB<CB$ és $\displaystyle CD<AD$ teljesül. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ szakaszok nem metszik egymást.

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle h$ az $\displaystyle AC$ szakasz felezőmerőlegesét; ennek megfelelően $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ a $\displaystyle h$ által meghatározott különböző nyílt félsíkokba esik. Az $\displaystyle AB< CB$ feltétel szerint $\displaystyle B$ az $\displaystyle A$ pontot tartalmazó félsíkba esik, $\displaystyle D$ pedig a $\displaystyle C$ pontot tartalmazó félsíkba, mivel $\displaystyle CD<AD$. Így az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ szakaszok a $\displaystyle h$ által határolt különböző nyílt félsíkokba tartoznak, tehát nem létezik közös pontjuk.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	97 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai