A B. 5159. feladat (2021. március)

B. 5159. Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán a

\(\displaystyle \left[\frac{2020-x}{x-1}\right]+\left[\frac{2021+x}{x+1}\right]=82 \)

egyenletet, ahol \(\displaystyle [c]\) a \(\displaystyle c\) szám egészrészét jelöli.

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy az egyenlet pontosan akkor értelmes, ha az \(\displaystyle x\) pozitív egész szám 1-nél nagyobb.

Mivel

\(\displaystyle \left[\frac{2020-x}{x-1}\right]=\left[\frac{2020-x+(x-1)}{x-1}\right]-1=\left[\frac{2019}{x-1}\right]-1\)

és

\(\displaystyle \left[\frac{2021+x}{x+1}\right]=\left[\frac{2021+x-(x+1)}{x+1}\right]+1=\left[\frac{2020}{x+1}\right]+1,\)

ezért az egyenlet

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{x-1}\right]+\left[\frac{2020}{x+1}\right]=82\)

alakban is írható. Világos, hogy \(\displaystyle x\geq 2\)-re a bal oldalon álló kifejezés monoton csökkenő függvénye \(\displaystyle x\)-nek. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle x=50\)-re a bal oldalon szereplő tagok mindegyike körülbelül 40, így érdemes a pontos számítást elvégezni:

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{49}\right]+\left[\frac{2020}{51}\right]=41+39=80.\)

Tehát a monotonitás alapján \(\displaystyle x<50\) kell legyen, mert \(\displaystyle x=50\)-re az összeg már túl kicsi. Ha \(\displaystyle x=49\), akkor az összeg értéke

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{48}\right]+\left[\frac{2020}{50}\right]=42+40=82,\)

vagyis az egyenlet teljesül. Ezután \(\displaystyle x=48\)-at is megvizsgálva az összeg értékére

\(\displaystyle \left[\frac{2019}{47}\right]+\left[\frac{2020}{49}\right]=42+41=83\)

adódik, ami már túl nagy. Tehát a monotonitás alapján az egyetlen megoldás \(\displaystyle x=49\).

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	68 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai