A B. 5160. feladat (2021. március)

B. 5160. Mennyi lehet $\displaystyle x+y+z$ értéke, ha

$\displaystyle \sqrt{x-1}+2\sqrt{y-4}+3\sqrt{z-9}=\frac{x+y+z}{2}?$

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy a megadott egyenlet pontosan akkor értelmes, ha $\displaystyle x\geq 1$, $\displaystyle y\geq 4$ és $\displaystyle z\geq 9$.

Vezessük be az

$\displaystyle a:=\sqrt{x-1},\quad b:=\sqrt{y-4},\quad c:=\sqrt{z-9}$

jelöléseket. Ekkor $\displaystyle x=a^2+1$, $\displaystyle y=b^2+4$ és $\displaystyle z=c^2+9$, így a megadott egyenlet

$\displaystyle a+2b+3c=\frac{(a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+9)}{2}$

alakban írható. Az egyenletet 2-vel szorozva és rendezve:

$\displaystyle 0=a^2-2a+b^2-4b+c^2-6c+14,$

majd teljes négyzeteket kialakítva:

$\displaystyle 0=(a-1)^2+(b-2)^2+(c-3)^2.$

A jobb oldalon szereplő tagok nemnegatívak, hiszen mindegyikük egy-egy valós szám négyzete, így összegük csak úgy lehet 0, ha mindegyikük 0, vagyis, ha $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=2$ és $\displaystyle c=3$. Ekkor $\displaystyle x=a^2+1=2$, $\displaystyle y=b^2+4=8$ és $\displaystyle z=c^2+9=18$.

Azt kaptuk tehát, hogy a megadott egyenlet pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle (x;y;z)=(2;8;18)$. Így $\displaystyle x+y+z$ értéke csak $\displaystyle 2+8+18=28$ lehet.

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	70 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai