A B. 5160. feladat (2021. március)

B. 5160. Mennyi lehet \(\displaystyle x+y+z\) értéke, ha

\(\displaystyle \sqrt{x-1}+2\sqrt{y-4}+3\sqrt{z-9}=\frac{x+y+z}{2}? \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy a megadott egyenlet pontosan akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\geq 1\), \(\displaystyle y\geq 4\) és \(\displaystyle z\geq 9\).

Vezessük be az

\(\displaystyle a:=\sqrt{x-1},\quad b:=\sqrt{y-4},\quad c:=\sqrt{z-9}\)

jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle x=a^2+1\), \(\displaystyle y=b^2+4\) és \(\displaystyle z=c^2+9\), így a megadott egyenlet

\(\displaystyle a+2b+3c=\frac{(a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+9)}{2}\)

alakban írható. Az egyenletet 2-vel szorozva és rendezve:

\(\displaystyle 0=a^2-2a+b^2-4b+c^2-6c+14,\)

majd teljes négyzeteket kialakítva:

\(\displaystyle 0=(a-1)^2+(b-2)^2+(c-3)^2.\)

A jobb oldalon szereplő tagok nemnegatívak, hiszen mindegyikük egy-egy valós szám négyzete, így összegük csak úgy lehet 0, ha mindegyikük 0, vagyis, ha \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=2\) és \(\displaystyle c=3\). Ekkor \(\displaystyle x=a^2+1=2\), \(\displaystyle y=b^2+4=8\) és \(\displaystyle z=c^2+9=18\).

Azt kaptuk tehát, hogy a megadott egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle (x;y;z)=(2;8;18)\). Így \(\displaystyle x+y+z\) értéke csak \(\displaystyle 2+8+18=28\) lehet.

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	70 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai