A B. 5167. feladat (2021. április)

B. 5167. Adott a síkon két kör úgy, hogy vannak közös belső érintőik. Mutassuk meg, hogy e közös érintők érintési pontjain átmenő kör középpontja felezi a két kör középpontjait összekötő szakaszt.

Javasolta: Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 8.C. osztály

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két kör középpontja $\displaystyle O_1$ és $\displaystyle O_2$, a közös belső érintők érintési pontjai $\displaystyle A, C$, illetve $\displaystyle B, D$ az ábra szerint.

Az egész ábra szimmetrikus a centrálisra, így $\displaystyle ABCD$ szimmetrikus trapéz, tehát írható köré kör, továbbá a kör középpontja rajta van a centrálison. Az $\displaystyle AC$ érintőszakaszhoz tartozó $\displaystyle O_1A$ és $\displaystyle O_2C$ sugarak merőlegesek az érintőre, így egymással párhuzamosak. Az eddigiek alapján látjuk, hogy $\displaystyle O_1AO_2C$ trapéz, melynek alapjai az $\displaystyle O_1A$ és $\displaystyle O_2C$ szakaszok, átlói pedig $\displaystyle AC$ és $\displaystyle O_1O_2$. Az érintési pontokon átmenő körnek $\displaystyle AC$ az egyik húrja, így annak $\displaystyle f$ felezőmerőlegese párhuzamos az alapokkal, felezi az átlót, tehát éppen a középvonal egyenese. Másrészt tudjuk, hogy a húr felezőmerőlegese átmegy a kör $\displaystyle F$ középpontján. A középvonal felezi a másik átlót, az $\displaystyle O_1O_2$ szakaszt is. Ezzel az állítást beláttuk.

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	52 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai