A B. 5183. feladat (2021. szeptember)

B. 5183. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldala egységnyi, \(\displaystyle BAC\sphericalangle = 60^{\circ}\), \(\displaystyle ACB\sphericalangle= 100^{\circ}\) és a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AB\) oldalon vegyük fel a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle DB = FB\) teljesüljön. Határozzuk meg a \(\displaystyle T_{ABC\triangle}+2T_{FBD\triangle}\) pontos értékét.

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\)-nél fekvő szöge \(\displaystyle 20^{\circ}\). A feladat szövege alapján \(\displaystyle FBD\) egyenlő szárú háromszög, alapon fekvő szögei \(\displaystyle 80^{\circ}\)-osak. Szintén \(\displaystyle 80^{\circ}\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-nél fekvő külső szöge, így kézenfekvő, hogy felmérjük az \(\displaystyle FD\) szakaszt \(\displaystyle C\)-től indulva az \(\displaystyle AC\) félegyenesre. Legyen a szakasz másik végpontja az \(\displaystyle E\) pont, az ábra szerint. (Az \(\displaystyle FCE\) háromszöget a \(\displaystyle BF\) egyenesére tükrözve és a \(\displaystyle \overrightarrow{BF}\) vektorral eltolva, más szóval csúsztatva tükrözéssel kapjuk a \(\displaystyle BDF\) háromszögből.)

Az eddigiek alapján \(\displaystyle CF=FB=FE\), tehát az \(\displaystyle E\) pont \(\displaystyle BC\) Thalész-körének pontja, a \(\displaystyle CEB\sphericalangle=90^{\circ}\). Az \(\displaystyle AEB\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle EAB\sphericalangle=60^{\circ}\), a háromszög félszabályos. A \(\displaystyle BCE\) háromszög területe éppen kétszerese az \(\displaystyle FCE\) háromszög, illetve az ezzel egybevágó \(\displaystyle FDB\) háromszög területének. A feladat kérdésében szereplő terület tehát egyenlő az \(\displaystyle AEB\) félszabályos háromszög területével. Ennek átfogója egységnyi, így területe \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}\).

Statisztika:

136 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai