A B. 5183. feladat (2021. szeptember)

B. 5183. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AB$ oldala egységnyi, $\displaystyle BAC\sphericalangle = 60^{\circ}$, $\displaystyle ACB\sphericalangle= 100^{\circ}$ és a $\displaystyle BC$ oldal felezőpontja $\displaystyle F$. Az $\displaystyle AB$ oldalon vegyük fel a $\displaystyle D$ pontot úgy, hogy $\displaystyle DB = FB$ teljesüljön. Határozzuk meg a $\displaystyle T_{ABC\triangle}+2T_{FBD\triangle}$ pontos értékét.

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle B$-nél fekvő szöge $\displaystyle 20^{\circ}$. A feladat szövege alapján $\displaystyle FBD$ egyenlő szárú háromszög, alapon fekvő szögei $\displaystyle 80^{\circ}$-osak. Szintén $\displaystyle 80^{\circ}$ az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle C$-nél fekvő külső szöge, így kézenfekvő, hogy felmérjük az $\displaystyle FD$ szakaszt $\displaystyle C$-től indulva az $\displaystyle AC$ félegyenesre. Legyen a szakasz másik végpontja az $\displaystyle E$ pont, az ábra szerint. (Az $\displaystyle FCE$ háromszöget a $\displaystyle BF$ egyenesére tükrözve és a $\displaystyle \overrightarrow{BF}$ vektorral eltolva, más szóval csúsztatva tükrözéssel kapjuk a $\displaystyle BDF$ háromszögből.)

Az eddigiek alapján $\displaystyle CF=FB=FE$, tehát az $\displaystyle E$ pont $\displaystyle BC$ Thalész-körének pontja, a $\displaystyle CEB\sphericalangle=90^{\circ}$. Az $\displaystyle AEB$ derékszögű háromszögben $\displaystyle EAB\sphericalangle=60^{\circ}$, a háromszög félszabályos. A $\displaystyle BCE$ háromszög területe éppen kétszerese az $\displaystyle FCE$ háromszög, illetve az ezzel egybevágó $\displaystyle FDB$ háromszög területének. A feladat kérdésében szereplő terület tehát egyenlő az $\displaystyle AEB$ félszabályos háromszög területével. Ennek átfogója egységnyi, így területe $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Statisztika:

136 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai