A B. 5205. feladat (2021. november)

B. 5205. Adott a síkon négy kör: a $\displaystyle k_1$ kör belsejében a $\displaystyle k_2$, a $\displaystyle k_2$ belsejében a $\displaystyle k_3$, és a $\displaystyle k_3$ belsejében a $\displaystyle k_4$ kör. Adott továbbá három egyenes, $\displaystyle e_1$, $\displaystyle e_2$ és $\displaystyle e_3$, amelyek közül semelyik kettő sem párhuzamos, és mind a négy kört metszik. Mindegyik $\displaystyle i=1,2,3$ esetén legyenek az $\displaystyle e_i$ egyenes metszéspontjai a körökkel $\displaystyle A_i$, $\displaystyle B_i$, $\displaystyle C_i$, $\displaystyle D_i$, $\displaystyle E_i$, $\displaystyle F_i$, $\displaystyle G_i$ és $\displaystyle H_i$, ebben a sorrendben. Igazoljuk, hogy ha $\displaystyle A_1B_1+E_1F_1=C_1D_1+G_1H_1$ és $\displaystyle A_2B_2+E_2F_2=C_2D_2+G_2H_2$, akkor $\displaystyle A_3B_3+E_3F_3=C_3D_3+G_3H_3$.

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldáshoz az $\displaystyle A_iB_i+E_iF_i=C_iD_i+G_iH_i$ feltételt átfogalmazzuk egy, a körök középpontjaira vonatkozó állításra. Jelölje a $\displaystyle k_j$ kör középpontját $\displaystyle O_j$ ($\displaystyle j=1,2,3,4$), és legyen $\displaystyle \mathbf{w}=\overrightarrow{O_1O_2}+\overrightarrow{O_4O_3}$.

Lemma. Bármely $\displaystyle i=1,2,3$ esetén $\displaystyle A_iB_i+E_iF_i=C_iD_i+G_iH_i$ akkor és csak akkor teljesül, ha a $\displaystyle \mathbf{w}$ vektor merőleges az $\displaystyle e_i$ egyenesre.

Bizonyítás. Mivel az $\displaystyle A_i,\ldots,H_i$ pontok ebben a sorrendben helyezkednek el az $\displaystyle e_i$ egyenesen, az $\displaystyle A_iB_i+E_iF_i=C_iD_i+G_iH_i$ feltétel ekvivalens azzal, hogy $\displaystyle \overrightarrow{A_iB_i}+\overrightarrow{E_iF_i} = \overrightarrow{C_iD_i}+\overrightarrow{G_iH_i}$. Legyen $\displaystyle \mathbf{h}_i=\overrightarrow{A_iB_i}+\overrightarrow{E_iF_i}-\overrightarrow{C_iD_i}-\overrightarrow{G_iH_i}$; azt kell vizsgálnunk, hogy $\displaystyle \mathbf{h}_i$ mikor a nullvektor. A $\displaystyle \mathbf{h}_i$ vektor a defníciója miatt párhuzamos az $\displaystyle e_i$ egyenessel, ezért akkor és csak akkor a nullvektor, ha egyben merőleges is $\displaystyle e_i$-re.

Mivel a körök a megadott sorrendben tartalmazzák egymást, $\displaystyle A_i$ és $\displaystyle H_i$ a legkülső $\displaystyle k_1$ körön, $\displaystyle B_i$ és $\displaystyle G_i$ a $\displaystyle k_2$, $\displaystyle C_i$ és $\displaystyle F_i$ a $\displaystyle k_3$, $\displaystyle D_i$ és $\displaystyle E_i$ pedig a legbelső $\displaystyle k_4$ körön van. Az $\displaystyle O_1A_iH_i$, $\displaystyle O_2B_iG_i$, $\displaystyle O_3C_iF_i$ és $\displaystyle O_4D_iE_i$ háromszögek egyenlő szárúak, közös alapegyenesük az $\displaystyle e_i$, ezért az $\displaystyle \overrightarrow{O_1A_i}+\overrightarrow{O_1H_i}$, $\displaystyle \overrightarrow{O_2B_i}+\overrightarrow{O_2G_i}$, $\displaystyle \overrightarrow{O_3C_i}+\overrightarrow{O_3F_i}$ és $\displaystyle \overrightarrow{O_4D_i}+\overrightarrow{O_4E_i}$ vektorok merőlegesek $\displaystyle e_i$-re. A lemmát úgy igazoljuk, hogy ezek, $\displaystyle \overrightarrow{O_1O_2}$ és $\displaystyle \overrightarrow{O_4O_3}$ lineáris kombinációjaként írjuk fel $\displaystyle \mathbf{h}_i$-t:

Mint láttuk, az utolsó sorban $\displaystyle \overrightarrow{O_1A_i}+\overrightarrow{O_1H_i}$, $\displaystyle \overrightarrow{O_2B_i}+\overrightarrow{O_2G_i}$, $\displaystyle \overrightarrow{O_3C_i}+\overrightarrow{O_3F_i}$ és $\displaystyle \overrightarrow{O_4D_i}+\overrightarrow{O_4E_i}$ mind merőleges $\displaystyle e_i$-re, ezért $\displaystyle \mathbf{h}_i$ akkor és csak akkor merőleges $\displaystyle e_i$-re, ha $\displaystyle \mathbf{w}$ is merőleges $\displaystyle e_i$-re. Tehát

$\displaystyle A_iB_i+E_iF_i=C_iD_i+G_iH_i \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{h}_i=\mathbf{0} \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{h}_i\perp e_i \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{w}\perp e_i.$

Ezzel a lemmát igazoltuk.

A feladat feltételei szerint $\displaystyle A_1B_1+E_1F_1=C_1D_1+G_1H_1$ és $\displaystyle A_2B_2+E_2F_2=C_2D_2+G_2H_2$; a lemma szerint ebből következik, hogy a $\displaystyle \mathbf{w}$ vektor az $\displaystyle e_1$ és az $\displaystyle e_2$ egyenesre is merőleges. Mivel $\displaystyle e_1$ és $\displaystyle e_2$ különböző irányú, ez csak úgy lehetséges, ha $\displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{0}$ (tehát $\displaystyle O_1O_2O_4O_3$ egy – esetleg elfajuló – paralelogramma.)

Mivel a $\displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{0}$ vektor az $\displaystyle e_3$ egyenesre is merőleges, a lemma másik iránya szerint $\displaystyle A_3B_3+E_3F_3=C_3D_3+G_3H_3$.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bényei Borisz, Csonka Illés, Kalocsai Zoltán, Mohay Lili Veronika, Németh Márton, Páhán Anita Dalma, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Tarján Bernát, Virág Rudolf.
5 pontot kapott:	Bálint Béla, Bencsik Dávid, Duchon Márton, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Rareș Polenciuc, Tekes János, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai