A B. 5207. feladat (2021. december)

B. 5207. Bizonyítsuk be, hogy minden $\displaystyle n\ge 2$ természetes számra léteznek olyan $\displaystyle 2\le x_1<x_2<x_3<\ldots<x_n$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!\cdot \ldots \cdot x_n!$

négyzetszám.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle n\ge 3$, akkor válasszuk meg az $\displaystyle x_1<\ldots<x_{n-2}$ egészeket tetszőlegesen, és legyen $\displaystyle A=x_1!\cdot\ldots\cdot x_{n-2}!$. Ha $\displaystyle n=2$, akkor legyen $\displaystyle A=1$. Végül legyen $\displaystyle x_{n-1}=4A-1$ és $\displaystyle x_n=4A$.

Elenőrizzük az $\displaystyle x_1<\ldots<x_n$ feltételt. Az $\displaystyle x_1<x_2<\ldots<x_{n-2}$ és az $\displaystyle x_{n-1}<x_n$ egyenlőtlensőgek triviálisan teljesülnek. Ha $\displaystyle n\ge3$, akkor $\displaystyle x_{n-2} \le x_{n-2}! \le A < 4A-1 = x_{n-1}$ is teljesül.

Végül,

$\displaystyle x_1!\cdot\ldots\cdot x_n! = A \cdot x_{n-1}!\cdot x_n! = A\cdot (4A-1)!\cdot (4A)! = \bigg(\dfrac{(4A)!}{2}\bigg)^2$

valóban négyzetszám.

Statisztika:

131 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	98 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai