A B. 5207. feladat (2021. december)

B. 5207. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle n\ge 2\) természetes számra léteznek olyan \(\displaystyle 2\le x_1<x_2<x_3<\ldots<x_n\) pozitív egész számok, amelyekre

\(\displaystyle x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!\cdot \ldots \cdot x_n! \)

négyzetszám.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\ge 3\), akkor válasszuk meg az \(\displaystyle x_1<\ldots<x_{n-2}\) egészeket tetszőlegesen, és legyen \(\displaystyle A=x_1!\cdot\ldots\cdot x_{n-2}!\). Ha \(\displaystyle n=2\), akkor legyen \(\displaystyle A=1\). Végül legyen \(\displaystyle x_{n-1}=4A-1\) és \(\displaystyle x_n=4A\).

Elenőrizzük az \(\displaystyle x_1<\ldots<x_n\) feltételt. Az \(\displaystyle x_1<x_2<\ldots<x_{n-2}\) és az \(\displaystyle x_{n-1}<x_n\) egyenlőtlensőgek triviálisan teljesülnek. Ha \(\displaystyle n\ge3\), akkor \(\displaystyle x_{n-2} \le x_{n-2}! \le A < 4A-1 = x_{n-1}\) is teljesül.

Végül,

\(\displaystyle x_1!\cdot\ldots\cdot x_n! = A \cdot x_{n-1}!\cdot x_n! = A\cdot (4A-1)!\cdot (4A)! = \bigg(\dfrac{(4A)!}{2}\bigg)^2 \)

valóban négyzetszám.

Statisztika:

131 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	98 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai