A B. 5208. feladat (2021. december)

B. 5208. Egy kör $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ húrjai merőlegesek egymásra, a húrok egyenesei a körön kívüli $\displaystyle P$ pontban metszik egymást; a $\displaystyle P$-ből a körhöz húzott érintőszakasz hossza $\displaystyle e$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ szakaszok hosszainak mértani közepe legalább $\displaystyle \sqrt2\, e$.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Jelölje az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok $\displaystyle P$-től mért távolságát rendre $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$. A külső pontból körhöz húzott szelő- és érintőszakaszok tétele szerint

$\displaystyle ab=cd=e^2.$

Az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ egyenesek merőlegessége miatt Pitagorasz tételéből kapjuk, hogy

$\displaystyle AD^2=a^2+d^2 \qquad \text {és} \qquad BC^2=b^2+c^2.$

Továbbá a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség miatt

$\displaystyle \frac{a^2+d^2}{2}\ge \sqrt{a^2d^2}=ad \qquad \text {és} \qquad \frac{b^2+c^2}{2}\ge \sqrt{b^2c^2}=bc.$

Így az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ szakaszok mértani közepére

$\displaystyle \sqrt{AD\cdot BC}=\sqrt{\sqrt{a^2+d^2}\cdot \sqrt{b^2+c^2} }\ge\sqrt{\sqrt{2ad}\cdot \sqrt{2bc}}=\sqrt{2\sqrt{abcd}}=\sqrt{2\sqrt{e^4}}=\sqrt 2 e,$

ezt akartuk igazolni. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha $\displaystyle a=d$ és $\displaystyle b=c$.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	64 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai