Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5210. feladat (2021. december)

B. 5210. A P1, P2 és P3 parabolák fókuszpontja közös, bármely kettő közülük pontosan kettő pontban metszi egymást. A Pi és Pj parabolák két metszéspontjára illeszkedő egyenest jelölje eij. Mutassuk meg, hogy az e12, e13 és e23 egyenesek illeszkednek egy közös pontra.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is felidézzük a parabola szokásos definícióját: Legyen adott egy v egyenes és egy rá nem illeszkedő F pont a síkon. Azon pontok mértani helyét a síkon, amelyeknek a v-től és F-től vett távolsága egyenlő, v vezéregyenesű és F fókuszpontú parabolának nevezzük.

Legyen a P1, P2 és P3 parabolák közös fókusza F, vezéregyeneseik rendre v1, v2 és v3.

Vegyük észre, hogy Pi és Pj bármely X metszéspontjára d(X,vi)=d(X,F)=d(X,vj) teljesül, azaz X illeszkedik vi és vj valamely szögfelezőjére vagy vivj esetben az egyenesek középpárhuzamosára.

Először tegyük fel, hogy a vezéregyenesek között nincsenek párhuzamosak. Mivel egy parabola teljes egészében benne van a vezéregyeneséhez tartozó félsíkok egyikében, így Pi és Pj két metszéspontja szükségképpen vi és vj ugyanazon fij szögfelezőjén van; ezen szögfelező pontosan ahhoz a vi és vj által meghatározott szögtartományhoz tartozik, amely tartalmazza az F fókuszpontot. Az f12 és f13 szögfelezők egy olyan M pontban metszik egymást, amely mindhárom vezéregyenestől egyenlő távol van, és mindhárom vezéregyenesre nézve partos az F ponttal (azaz az MF szakasz nem metszi egyik vezéregyenest sem). Az eddigiek szerint M illeszkedik f23-ra is.

Most tegyük fel, hogy v1v2. Ekkor F szükségképpen az általuk meghatározott sávban van, és a P1 és P2 parabolák metszéspontjai illeszkednek v1 és v2 középpárhuzamosára. Innen a bizonyítás az előző esettel analóg módon fejezhető be.

Ha mindhárom vezéregyenes párhuzamos, akkor könnyű belátni, hogy valamely két parabola nem metszi egymást, így ez az eset nem lehet.

Ezzel az állítást beláttuk.


Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balogh Ádám Péter, Baski Bence, Bencsik Dávid, Bencz Benedek, Bényei Borisz, Bognár 171 András Károly, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Dienes Ervin Fotisz, Dobák Bálint, Duchon Márton, Fajszi Karsa, Farkas 005 Bendegúz, Farkas 512 Izabella, Fazokán Marcell, Fekete Richárd, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Koltai Csaba Ferenc, Kovács Benedek Noel, László Anna, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 429 Leila, Németh Márton, Ottrok Barbara, Páhán Anita Dalma, Romaniuc Albert-Iulian, Seláf Bence, Simon László Bence, Sipeki Márton, Sipos Botond Örs, Somogyi Dalma, Tarján Bernát, Tekes János, Tichy Márk, Tóth 057 Bálint, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:7 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai