A B. 5215. feladat (2022. január)

B. 5215. Adjuk meg az összes $\displaystyle x$ pozitív valós számot, amelyre $\displaystyle x + \frac1{x}$ egész szám és $\displaystyle x^3 + \frac1{x^3}$ prímszám.

Szaszkó-Bogárné Eckert Bernadett és Szaszkó-Bogár Viktor ötlete alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle x + \frac1{x}=n$ pozitív egész, akkor négyzetre emelve $\displaystyle x^2 + \frac1{x^2} + 2=n^2$, azaz $\displaystyle x^2 + \frac1{x^2}=n^2-2$ is pozitív egész, ezért $\displaystyle n>1$. A két egyenletet összeszorozva:

$\displaystyle x^3 + \frac1{x^3} + x + \frac1{x} = n^3-2n,$

vagyis $\displaystyle x^3 + \frac1{x^3} = n^3-3n = n(n^2-3)$ két pozitív egész szorzata. Ez pontosan akkor prímszám, ha az egyik tényező 1, a másik pedig prím. Mivel $\displaystyle n>1$, azért $\displaystyle n^2-3=1$, és így $\displaystyle n=2$. Tehát $\displaystyle x + \frac1{x}=2$ alapján $\displaystyle x=1$.

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	125 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai