A B. 5215. feladat (2022. január)

B. 5215. Adjuk meg az összes \(\displaystyle x\) pozitív valós számot, amelyre \(\displaystyle x + \frac1{x}\) egész szám és \(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3}\) prímszám.

Szaszkó-Bogárné Eckert Bernadett és Szaszkó-Bogár Viktor ötlete alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle x + \frac1{x}=n\) pozitív egész, akkor négyzetre emelve \(\displaystyle x^2 + \frac1{x^2} + 2=n^2\), azaz \(\displaystyle x^2 + \frac1{x^2}=n^2-2\) is pozitív egész, ezért \(\displaystyle n>1\). A két egyenletet összeszorozva:

\(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3} + x + \frac1{x} = n^3-2n, \)

vagyis \(\displaystyle x^3 + \frac1{x^3} = n^3-3n = n(n^2-3)\) két pozitív egész szorzata. Ez pontosan akkor prímszám, ha az egyik tényező 1, a másik pedig prím. Mivel \(\displaystyle n>1\), azért \(\displaystyle n^2-3=1\), és így \(\displaystyle n=2\). Tehát \(\displaystyle x + \frac1{x}=2\) alapján \(\displaystyle x=1\).

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	125 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai