A B. 5216. feladat (2022. január)

B. 5216. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög köré írt körhöz az \(\displaystyle A\) pontban és a derékszögű \(\displaystyle C\) csúcsban érintőt rajzolunk, az érintők metszéspontja \(\displaystyle D\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle BD\) egyenes felezi a \(\displaystyle C\)-ből induló magasságot.

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle O\) a körülírt kör középpontja; a Thálész-tétel szerint ez az \(\displaystyle AB\) átfogó felezőpontja, \(\displaystyle OA=OB=OC\). Legyen továbbá a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle AD\) és az \(\displaystyle BC\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle E\), végül a \(\displaystyle BD\) szakasz és a \(\displaystyle CT\) magasság metszéspontja \(\displaystyle F\). A feladat megoldásához azt kell igazolnunk, hogy az \(\displaystyle F\) pont felezi \(\displaystyle CT\)-t.

Az \(\displaystyle OCDA\) négyszögben \(\displaystyle DA=DC\) a körhöz húzott érintő szakaszok, illetve \(\displaystyle OA=OC\) a kör sugarai, ezért a négyszög deltoid; emiatt az \(\displaystyle OD\) átló merőlegesen felezi az \(\displaystyle AC\) átlót. A \(\displaystyle BC\) egyenes is merőleges \(\displaystyle AC\)-re, ezért \(\displaystyle OD\parallel BC\). Mivel az \(\displaystyle O\) pont felezi az \(\displaystyle AB\) átmérőt, a párhuzamos szelők tétele miatt a \(\displaystyle D\) pont is felezi az \(\displaystyle AE\) szakaszt.

Az \(\displaystyle AD\) érintő merőleges a kör \(\displaystyle OA\) sugarára, \(\displaystyle CT\) pedig az \(\displaystyle AB\) oldalhoz tartozó magasság, szintén merőleges \(\displaystyle AB\)-re, így \(\displaystyle AD\parallel CT\). Az \(\displaystyle AE\) szakaszt és \(\displaystyle D\) felezőpontját a \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle TC\) szakaszba és az \(\displaystyle F\) pontba kicsinyíthetjük, ezért \(\displaystyle F\) is felezi a \(\displaystyle TC\) szakaszt.

Megjegyzés. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle BD\) egyenes a \(\displaystyle B\) csúcsból induló szimmedián, a súlyvonalnak a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőre vonatkozó tükörképe. Az \(\displaystyle ABC\) és a \(\displaystyle CBT\) háromszög hasonlóságából könnyen leolvasható, hogy a két háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló súlyvonala szimmetrikus a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőre, vagyis a \(\displaystyle CBT\) háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló súlyvonala éppen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló szimmediánja.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	67 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai