A B. 5216. feladat (2022. január) |
B. 5216. Az ABC derékszögű háromszög köré írt körhöz az A pontban és a derékszögű C csúcsban érintőt rajzolunk, az érintők metszéspontja D. Bizonyítsuk be, hogy a BD egyenes felezi a C-ből induló magasságot.
(3 pont)
A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen O a körülírt kör középpontja; a Thálész-tétel szerint ez az AB átfogó felezőpontja, OA=OB=OC. Legyen továbbá a C-ből induló magasság talppontja T, az AD és az BC egyenesek metszéspontja E, végül a BD szakasz és a CT magasság metszéspontja F. A feladat megoldásához azt kell igazolnunk, hogy az F pont felezi CT-t.
Az OCDA négyszögben DA=DC a körhöz húzott érintő szakaszok, illetve OA=OC a kör sugarai, ezért a négyszög deltoid; emiatt az OD átló merőlegesen felezi az AC átlót. A BC egyenes is merőleges AC-re, ezért OD∥BC. Mivel az O pont felezi az AB átmérőt, a párhuzamos szelők tétele miatt a D pont is felezi az AE szakaszt.
Az AD érintő merőleges a kör OA sugarára, CT pedig az AB oldalhoz tartozó magasság, szintén merőleges AB-re, így AD∥CT. Az AE szakaszt és D felezőpontját a B pontból a TC szakaszba és az F pontba kicsinyíthetjük, ezért F is felezi a TC szakaszt.
Megjegyzés. Az ABC háromszögben a BD egyenes a B csúcsból induló szimmedián, a súlyvonalnak a B-ből induló szögfelezőre vonatkozó tükörképe. Az ABC és a CBT háromszög hasonlóságából könnyen leolvasható, hogy a két háromszög B-ből induló súlyvonala szimmetrikus a B-ből induló szögfelezőre, vagyis a CBT háromszög B-ből induló súlyvonala éppen az ABC háromszög B-ből induló szimmediánja.
Statisztika:
91 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 67 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. januári matematika feladatai