Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5216. feladat (2022. január)

B. 5216. Az ABC derékszögű háromszög köré írt körhöz az A pontban és a derékszögű C csúcsban érintőt rajzolunk, az érintők metszéspontja D. Bizonyítsuk be, hogy a BD egyenes felezi a C-ből induló magasságot.

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen O a körülírt kör középpontja; a Thálész-tétel szerint ez az AB átfogó felezőpontja, OA=OB=OC. Legyen továbbá a C-ből induló magasság talppontja T, az AD és az BC egyenesek metszéspontja E, végül a BD szakasz és a CT magasság metszéspontja F. A feladat megoldásához azt kell igazolnunk, hogy az F pont felezi CT-t.

Az OCDA négyszögben DA=DC a körhöz húzott érintő szakaszok, illetve OA=OC a kör sugarai, ezért a négyszög deltoid; emiatt az OD átló merőlegesen felezi az AC átlót. A BC egyenes is merőleges AC-re, ezért ODBC. Mivel az O pont felezi az AB átmérőt, a párhuzamos szelők tétele miatt a D pont is felezi az AE szakaszt.

Az AD érintő merőleges a kör OA sugarára, CT pedig az AB oldalhoz tartozó magasság, szintén merőleges AB-re, így ADCT. Az AE szakaszt és D felezőpontját a B pontból a TC szakaszba és az F pontba kicsinyíthetjük, ezért F is felezi a TC szakaszt.

Megjegyzés. Az ABC háromszögben a BD egyenes a B csúcsból induló szimmedián, a súlyvonalnak a B-ből induló szögfelezőre vonatkozó tükörképe. Az ABC és a CBT háromszög hasonlóságából könnyen leolvasható, hogy a két háromszög B-ből induló súlyvonala szimmetrikus a B-ből induló szögfelezőre, vagyis a CBT háromszög B-ből induló súlyvonala éppen az ABC háromszög B-ből induló szimmediánja.


Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:67 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai