A B. 5222. feladat (2022. február)

B. 5222. Legyenek az $\displaystyle A$ halmaz elemei azok a páros pozitív egészek, amelyeket 2-vel osztva a számjegyek összege 2-vel csökken, a $\displaystyle B$ halmaz elemei pedig azok a pozitív egészek, melyeket 5-tel szorozva a számjegyek összege 5-tel nő. Adjuk meg az $\displaystyle A\cap B$ és a $\displaystyle B\setminus A$ halmazok elemszámát.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Világos, hogy egy egész szám számjegyeinek összege pontosan annyi, mint a 10-szeresének a számjegyeinek összege, így az $\displaystyle A$ halmaz elemei azok a páros pozitív egészek, amelyeket 5-tel szorozva a számjegyek összege 2-vel csökken. Ebből azonnal látható, hogy $\displaystyle A\cap B=\emptyset$, hiszen egyszerre biztosan nem tud 2-vel csökkenni és 5-tel nőni a számjegyek összege.

Mivel $\displaystyle A\cap B=\emptyset$, ezért $\displaystyle B\setminus A=B$. Megmutatjuk, hogy $\displaystyle B$-nek végtelen sok eleme van. Ehhez elég találnunk egyetlen elemet, ugyanis egy $\displaystyle B$-beli elemet 10-zel szorozva (vagyis a végére egy 0-t írva) világos, hogy szintén $\displaystyle B$-beli elemet kapunk, ez a lépés pedig akárhányszor elvégezhető. Próbálgatással nem nehéz találni ilyen számot, például $\displaystyle 17\in B$, mert a 17-ben 8, az $\displaystyle 5\cdot 17=85$-ben pedig 13 a számjegyek összege. Tehát $\displaystyle 17,170,1700,\dots$ mind $\displaystyle B$-beli, így $\displaystyle |B|=\infty$.

Tehát azt kaptuk, hogy az $\displaystyle A\cap B$ halmaz elemszáma 0, míg $\displaystyle B\setminus A$ elemszáma végtelen.

Megjegyzés. Amikor $\displaystyle B$-beli elemet keresünk, elég a $\displaystyle 9k+8$ alakú számokat vizsgálnunk. A 9-es oszthatósági szabály alapján ugyanis $\displaystyle b\in B$ esetén $\displaystyle 5b\equiv b+5\pmod {9}$, amiből $\displaystyle b\equiv 8\pmod {9}$. Így elég a $\displaystyle 9k+8$ alakú számokat nézni, $\displaystyle 8\notin B$, mert a 40 számjegyeinek összege 4-gyel kisebb, mint 8, viszont a 17 már jó.

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	73 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai