A B. 5223. feladat (2022. február)

B. 5223. Definiáljuk az \(\displaystyle \{a_n\}\) sorozatot a következőképpen:

\(\displaystyle a_1=-3,\qquad a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}\,. \)

Határozzuk meg \(\displaystyle a_{2022}\) értékét.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány elemét a rekurziót használva:

\(\displaystyle a_1=-3,\quad a_2=5,\quad a_3=21,\quad a_4=45,\ \dots\)

Könnyen észrevehetjük, hogy az első négy elemre \(\displaystyle a_n=(2n-1)^2-4\) teljesül. Megmutatjuk, hogy ez \(\displaystyle 4<n\)-re is teljesül. Indukcióval látható, hogy valóban

\(\displaystyle a_{n+1}=4+a_n+4\sqrt{a_n+4}=4+(2n-1)^2-4+4(2n-1)=4n^2+4n-3=(2n+1)^2-4.\)

Tehát \(\displaystyle a_{2022}=(2\cdot 2022-1)^2-4=4043^2-4=16\,345\,845\).

Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	99 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai