A B. 5224. feladat (2022. február)

B. 5224. Az $\displaystyle ABCD$ egységnégyzet $\displaystyle BC$ oldalán úgy vesszük fel a $\displaystyle P$ pontot, továbbá a $\displaystyle CD$ oldalán a $\displaystyle Q$ pontot, hogy $\displaystyle PAQ\sphericalangle=45^{\circ}$. A $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok melyik helyzetében lesz $\displaystyle BP+PQ+QD$ minimális?

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle BAP\sphericalangle=\alpha$ és $\displaystyle QAD\sphericalangle=\beta$ az ábra szerint. Tükrözzük az $\displaystyle AB$ szakaszt az $\displaystyle AP$ egyenesére és az $\displaystyle AD$ szakaszt az $\displaystyle AQ$ egyenesére. A $\displaystyle B$ pont tükörképe $\displaystyle B'$, a $\displaystyle D$ pont tükörképe $\displaystyle D'$.

Mivel $\displaystyle \alpha+\beta=45^\circ$, $\displaystyle ABP\sphericalangle=ADQ\sphericalangle=90^\circ$ és $\displaystyle AB=AD=1$ a $\displaystyle B'$ és $\displaystyle D'$ tükörképpontok egybeesnek, továbbá a $\displaystyle PB'Q\sphericalangle$ egyenesszög, a $\displaystyle P, B', Q$ pontok ebben a sorrendben egy egyenesen vannak. Ezzel látjuk, hogy a feladatban szereplő töröttvonal hossza kétszerese a $\displaystyle PQ$ szakasz hosszának, vagy ha úgy tetszik a $\displaystyle BP$ és $\displaystyle QD$ szakaszok hosszai összegének. A továbbiakban ezek minimumát kell megvizsgálni. Erre többféle változatot is ismertetünk.

1. változat. Legyen $\displaystyle BP=x$, $\displaystyle QD=y$, $\displaystyle PQ=x+y=c$. Az $\displaystyle APQ$ háromszög területe $\displaystyle \frac{c}{2}$, mivel az $\displaystyle A$-hoz tartozó magasság egységnyi. Az $\displaystyle ABPQD$ ötszög $\displaystyle c$ területe ennek kétszerese, így a $\displaystyle PCQ$ háromszög területe $\displaystyle \frac{1}{2}(1-x)(1-y)=1-c$. A $\displaystyle c$ minimumát fogjuk meghatározni. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség négyzetre emelt alakja alapján:

$\displaystyle (1-x)(1-y)\le \left(\frac{1-x+1-y}{2}\right)^2.$

Az eddigi eredményeink felhasználásával az egyenlőtlenség átírható olyan alakra, hogy abban csak a $\displaystyle c$ szerepeljen ismeretlenként:

$\displaystyle 2(1-c)\le \left(\frac{2-(x+y)}{2}\right)^2=\left(\frac{2-c}{2}\right)^2,$

$\displaystyle 8-8c\le 4-4c+c^2,$

$\displaystyle 8\le (c+2)^2,$

$\displaystyle 4\sqrt{2}-4\le 2c.$

Itt $\displaystyle 2c$ a töröttvonal hossza, ennek minimuma tehát $\displaystyle 4\sqrt{2}-4$, akkor és csak akkor, ha $\displaystyle x=y$.

2. változat. A $\displaystyle PCQ$ derékszögű háromszög oldalai $\displaystyle CP=1-x$, $\displaystyle CQ=1-y$ és $\displaystyle PQ=x+y$; a beírt kör sugara $\displaystyle \varrho=\dfrac{CP+CQ-PQ}{2}=1-x-y$.

Mint az ábráról leolvasható:

és egyenlőség akkor áll fenn, ha $\displaystyle E=K=B'=D'$. Tehát

$\displaystyle \min(BP+PQ+QD) = 2\min(x+y) =4\big(\sqrt2-1\big).$

3. változat. A négyzet oldala egységnyi, így $\displaystyle BP=\text{tg}\,\alpha$, $\displaystyle QD=\text{tg}\,\beta$.

$\displaystyle \text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}.$

Az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ szögek összege $\displaystyle 45^\circ$, a tört számlálója állandó. A tört akkor lesz minimális, ha a nevezője maximális. Bővítsük a törtet $\displaystyle 2$-vel és a nevezőben alkalmazzunk addíciós tételt:

$\displaystyle \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}=\frac{2\cdot \sin 45^\circ}{2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta}=\frac{\sqrt{2}}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}.$

A nevezőben szereplő összeg első tagja $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$, a második pedig legfeljebb 1. A hosszak összege tehát akkor lesz minimális, ha $\displaystyle \alpha=\beta=22,5^\circ$, a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok az $\displaystyle AC$ átlóra szimmetrikusan helyezkednek el.

4. változat. Jelöljük az $\displaystyle \alpha$ szög tangensét $\displaystyle x$-szel, a $\displaystyle \beta$ szög tangensét $\displaystyle y$-nal. A szögek összegének tangensére vonatkozó addíciós tétel szerint

$\displaystyle 1=\text{tg}\,45^\circ=\text{tg}\, (\alpha+\beta)=\frac{x+y}{1-xy}.$

Ezt – kicsit átrendezve – $\displaystyle xy=1-(x+y)$ alakban fogjuk felhasználni.

Most tekintsük a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség négyzetes alakját:

$\displaystyle xy\le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2,$

illetve a szorzatot helyettesítve és $\displaystyle (x+y)$ helyett új $\displaystyle z$ ismeretlent bevezetve és az eddigiek alapján tudva, hogy $\displaystyle z>0$:

$\displaystyle 1-z\le \frac{z^2}{4},$

$\displaystyle 4\le z^2+4z,$

$\displaystyle 8\le z^2+4z+4=(z+2)^2,$

$\displaystyle 2\sqrt{2}-2\le z.$

A feladatban szereplő töröttvonal hossza legalább ennek a duplája lesz. Egyenlőség akkor és csak akkor, ha $\displaystyle x=y$.

5. változat. Ismét $\displaystyle \text{tg}\, \alpha +\text{tg}\,\beta$ minimumát keressük. Az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ hegyes szögek összege $\displaystyle 45^\circ$. Ebben a tartományban a tangensfüggvény szigorúan konvex, így

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\text{tg}\, \alpha +\text{tg}\, \beta \right)\ge \text{tg}\,\frac{\alpha +\beta}{2}=\text{tg}\, 22,5^\circ.$

A szigorú konvexitás alapján egyenlőség csak $\displaystyle \alpha=\beta=22,5^\circ$ esetén.

A második és harmadik változatnál konkréten ki is számoltuk a töröttvonal hosszának minimumát: $\displaystyle 4\sqrt{2}-4$.

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai