A B. 5225. feladat (2022. február)

B. 5225. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-val szemközti oldala $\displaystyle a$, beírt körének középpontja $\displaystyle I$, sugara $\displaystyle \varrho$, a körülírt kör sugara $\displaystyle R$. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle \overline{AI}=R$, akkor az $\displaystyle ABC$ háromszög területe $\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a$.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szokásos jelölések szerint legyenek az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének érintési pontjai a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$, $\displaystyle AB$ oldalakon rendre $\displaystyle A_1,~B_1$ és $\displaystyle C_1$ az ábra szerint.

Ismert, hogy a csúcsokból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok az ábra szerintiek. Az $\displaystyle I$ pont a belső szögfelezők metszéspontja, emiatt $\displaystyle BA_1I\Delta\cong BC_1I\Delta$ és $\displaystyle CA_1I\Delta\cong CB_1I\Delta$. A $\displaystyle BCI$ háromszög területe $\displaystyle \frac{a\cdot \varrho}{2}$, így a $\displaystyle BCB_1IA_1$ ötszög területe ennek kétszerese: $\displaystyle a\cdot \varrho$.

Most meghatározzuk az $\displaystyle AC_1IB_1$ négyszög területét. Ez a négyszög két egybevágó derékszögű háromszögból áll. A derékszögű háromszög átfogója a feltétel alapján $\displaystyle R$. Az eredeti háromszög körülírt körének átmérője $\displaystyle 2R$. Az $\displaystyle AC_1IB_1$ kör átmérője $\displaystyle R$, ennek megfelelően ez utóbbiban az $\displaystyle \alpha$ kerületi szöghöz tartozó húr is fele lesz az eredeti körülírt körben az $\displaystyle \alpha$-hoz tartozó $\displaystyle a$ hosszúságú húrnak. Így az $\displaystyle AC_1IB_1$ deltoid egyik átlója $\displaystyle \frac{a}{2}$, másik – erre merőleges – átlója $\displaystyle R$, a deltoid területe $\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}$. Az ötszög és deltoid területe együtt az $\displaystyle ABC$ háromszög területe: $\displaystyle \frac{a\cdot R}{4}+\varrho \cdot a$. Ezzel az állítást beláttuk.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Farkas 512 Izabella, Fülöp Csilla, Horváth 530 Mihály, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Páhán Anita Dalma, Richlik Bence, Romaniuc Albert-Iulian, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szalontai Júlia, Tichy Márk, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	Bálint Béla, Ben Gillott, Csonka Illés, Dávid Dániel, Diószeghy Erzsébet, Máthé Gergely, Tarján Bernát, Tran Dávid.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai