 |
A B. 5228. feladat (2022. február) |
B. 5228. Egy parabola az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalát a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\), \(\displaystyle BC\) oldalát az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\), míg \(\displaystyle CA\) oldalát a \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle B_2\) belső pontokban metszi. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle AC_1 = C_2B\) és \(\displaystyle BA_1 = A_2C\), akkor \(\displaystyle CB_1=B_2A\).
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel az azonos betű mellett 1-es és 2-es indexszel szereplő betűk felcserélése ekvivalens átfogalmazást jelent a feltételekre és a bizonyítandóra nézve egyaránt, ezért feltehetjük, hogy a feladatban vizsgált pontok az ábrán látható módon helyezkednek el (azaz, a háromszöget körüljárva \(\displaystyle A,C_1,C_2,B,A_1,A_2,C,B_1,B_2\) sorrendben következnek).
A megoldás kulcsa a következő lemma:
Lemma. Egy parabolához a rögzített \(\displaystyle P_0\) pontból húzott szelő a parabolát az \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontokban metszi. Legyenek ezen pontok merőleges vetületei a vezéregyenesen \(\displaystyle P_0', U'\) és \(\displaystyle V'\). Ekkor a \(\displaystyle P_0' U' \cdot P_0' V'\) szorzat értéke nem függ a szelő megválasztásától.
A lemma bizonyítása. Vegyünk fel egy olyan koordinátarendszert, amelyben a parabola egyenlete éppen \(\displaystyle y = x^2\). (Ezt megtehetjük, ha az origót a parabola csúcsának, az \(\displaystyle y\) tengelyt a parabola tengelyének választjuk, és úgy skálázunk, hogy a fókuszpont éppen a \(\displaystyle \left( 0,\frac14 \right)\) pontba essen.)
Legyenek a \(\displaystyle P_0,U,V\) pontok koordinátái rendre \(\displaystyle (x_0,y_0),(u,u^2),(v,v^2)\), a szelő egyenes egyenlete pedig \(\displaystyle y=mx+c\).
Ekkor persze \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle v\) éppen az
\(\displaystyle x^2 - mx - c = 0 \)
egyenlet két gyöke kell legyen, tehát a Vieta-formulák alapján \(\displaystyle u \cdot v = -c\) és \(\displaystyle u+v = m\).
A kérdéses \(\displaystyle P_0' U' \cdot P_0' V'\) szorzat értéke ekkor:
\(\displaystyle |(u-x_0)(v-x_0)| = |x_0^2 - x_0(u+v) + uv x_0^2 - (mx_0-c)| = |x_0^2 - y_0| \)
(az utolsó egyenlőségnél felhasználtuk, hogy \(\displaystyle P_0\) rajta van a \(\displaystyle y = mx+c\) egyenesen). Ez valóban független a szelő megválasztásától (csak a \(\displaystyle P_0\) koordinátáitól függ). Ezzel a lemmát bebizonyítottuk.
Megjegyzés a lemmához. Az \(\displaystyle x_0^2-y_0\) értékre úgy is lehet gondolni, hogy az \(\displaystyle (x_0,y_0)\) koordinátákat helyettesítjük a parabola nullára rendezett egyenletébe, azaz az \(\displaystyle f(x,y) = x^2-y\) kétváltozós függvénybe. Érdemes összevetni ezt azzal, hogy pont körre vonatkozó hatványa is kiszámítható hasonló módon, a kör egyenletébe helyettesítve. A lemmában vizsgált szorzatra tehát joggal tekinthetünk úgy, mint ,,pont parabolára vonatkozó hatványára''.
A megoldás befejezése a lemma segítségével. Jelölje az \(\displaystyle A,B,C,A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2\) pontok merőleges vetületét a vezéeregyenesen rendre \(\displaystyle A',B',C',A'_1,A'_2,B'_1,B'_2,C'_1,C'_2\).
Az \(\displaystyle AC_1 = C_2B\) feltétel miatt \(\displaystyle A'C'_1 = C_2'B'\), amiből:
\(\displaystyle A'C'_1 \cdot A'C'_2 = A'C'_1 \cdot (A'C'_1 + C'_1C'_2) = C'_2B' \cdot (C'_1C'_2 + C'_2B') = B'C'_2 \cdot B'C'_1. \)
Hasonlóan \(\displaystyle BA_1 = A_2C\) miatt \(\displaystyle B'A'_1 = A'_2C'\), és ebből:
\(\displaystyle B'A'_1 \cdot B'A'_2 = B'A'_1 \cdot (B'A'_1 + A'_1A'_2) = A'_2C' \cdot (A'_1A'_2 + A'_2C') = C'A'_2 \cdot C' A'_1. \)
A lemmát sorban az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) majd \(\displaystyle C\) pontra alkalmazva:
\(\displaystyle A'B'_2 \cdot A'B'_1 = A'C'_1 \cdot A'C'_2 = B'C'_2 \cdot B'C'_1 = B'A'_1 \cdot B'A'_2 = C'A'_2 \cdot C'A'_1 = C'B'_1 \cdot C'B'_2. \)
Az \(\displaystyle A'B'_2 \cdot A'B'_1 = C'B'_1 \cdot C'B'_2\) egyenlőség csak úgy lehet igaz, ha \(\displaystyle AB_2 \cdot AB_1 = CB_1 \cdot CB_2\); amiből pedig következik \(\displaystyle CB_1 = B_2A\), hiszen \(\displaystyle CB_1 > AB_2\) esetén
\(\displaystyle CB_1 \cdot CB_2 = CB_1 \cdot (CB_1 + B_1B_2) < B_2A \cdot (B_1B_2 + B_2A) = AB_2 \cdot AB_1 \)
teljesülne, míg \(\displaystyle CB_1 < AB_2\) esetén ugyanezt írhatnánk fel fordított relációs jellel.
Második megoldás ötlete. Egy alternatív bizonyítási lehetőséget kínál az alábbi tétel: (https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot's_theorem_(conics), https://www.cut-the-knot.org/triangle/CarnotForConics.shtml)
Tétel (Carnot). Ha egy kúpszelet egy háromszög oldalait a feladat jelölései szerint metszi, akkor teljesül, hogy:
\(\displaystyle AC_1 \cdot AC_2 \cdot BA_1 \cdot BA_2 \cdot CB_1 \cdot CB_2 = AB_2 \cdot AB_1 \cdot CA_2 \cdot CA_1 \cdot BC_2 \cdot BC_1. \)
Statisztika:
16 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bényei Borisz, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Kalocsai Zoltán, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Németh Márton, Romaniuc Albert-Iulian, Somogyi Dalma, Tarján Bernát. 4 pontot kapott: Bencsik Dávid, Melján Dávid Gergő, Tran Dávid, Varga Boldizsár. 3 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2022. februári matematika feladatai