A B. 5229. feladat (2022. február)

B. 5229. Az \(\displaystyle a\ne 0\) valós számra és az \(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) függvényre

\(\displaystyle f\big(x+f(y)\big) = f(x) + f(y) + ay \)

teljesül minden \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}\) esetén. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f\) additív, vagyis \(\displaystyle f(x+y) = f(x) + f(y)\) minden \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}\) esetén.

Javasolta: George Stoica (Saint John, New Brunswick, Kanada)

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle f\) bijektív.

Az injektivitás (egy-egyértelműség) igazolásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle f(y)=f(y')\). Ekkor

\(\displaystyle f(x)+f(y)+ay=f(x+f(y))=f(x+f(y'))=f(x)+f(y')+ay',\)

amiből \(\displaystyle ay=ay'\), és így \(\displaystyle a\ne 0\) alapján valóban \(\displaystyle y=y'\). Tehát \(\displaystyle f\) injektív.

A szürjektivitás igazolásához tetszőleges \(\displaystyle y\) mellett válasszunk olyan \(\displaystyle x\)-et, melyre \(\displaystyle x+f(y)=y\), vagyis legyen \(\displaystyle x=y-f(y)\). Ezt az egyenletbe helyettesítve:

\(\displaystyle f(y)=f(y-f(y))+f(y)+ay,\)

azaz

\(\displaystyle f(y-f(y))=-ay.\)

Mivel \(\displaystyle y\) tetszőleges valós szám lehet, ezért \(\displaystyle -ay\) is felvehet minden valós értéket, így minden előáll mint valaminek az \(\displaystyle f\) szerinti képe. Tehát \(\displaystyle f\) szürjektív, és így valóban bijekció.

Ezek szerint speciálisan a 0 is valaminek az \(\displaystyle f\) szerinti képe, legyen \(\displaystyle f(y_0)=0\). Ekkor \(\displaystyle y=y_0\)-t helyettesítve:

\(\displaystyle f(x+f(y_0))=f(x)+f(y_0)+ay_0,\)

amiből

\(\displaystyle f(x)=f(x)+ay_0,\)

és így \(\displaystyle y_0=0\). Tehát \(\displaystyle f(0)=0\).

Most \(\displaystyle x=0\) helyettesítéssel:

\(\displaystyle f(f(y))=f(0)+f(y)+ay=f(y)+ay.\)

Így a megadott függvényegyenlet az alábbi módon is írható:

\(\displaystyle f(x+f(y))=f(x)+f(y)+ay=f(x)+f(f(y)).\)

Mivel \(\displaystyle f\) szürjektív, ezért tetszőleges valós \(\displaystyle z\) előáll \(\displaystyle z=f(y)\) alakban, és így minden valós \(\displaystyle x,z\) esetén

\(\displaystyle f(x+z)=f(x)+f(z),\)

tehát \(\displaystyle f\) additív.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bényei Borisz, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Fazokán Marcell, Ho Tran Khanh Linh, Horváth 530 Mihály, Kalocsai Zoltán, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Páhán Anita Dalma, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
5 pontot kapott:	Ben Gillott, Tarján Bernát.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai