 |
A B. 5238. feladat (2022. április) |
B. 5238. Oldjuk meg a következő egyenletet a pozitív egész számok körében:
\(\displaystyle (k+n)!=k^3+n^3+(k+n)(3kn-1). \)
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(3 pont)
A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel \(\displaystyle k^3+n^3=(k+n)(k^2-kn+n^2)\), ezért az egyenlet jobb oldala
\(\displaystyle k^3+n^3+(k+n)(3kn-1)=(k+n)(k^2-kn+n^2+3kn-1)=(k+n)[(k+n)^2-1]=(k+n-1)(k+n)(k+n+1)\)
alakban is írható. Bevezetve az \(\displaystyle s=k+n\) jelölést az
\(\displaystyle s!=(s-1)s(s+1)\)
egyenletet kapjuk, ahol \(\displaystyle s\geq 1+1=2\), hiszen \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\) pozitív egész számok. Egyszerűsítve (a pozitív) \(\displaystyle (s-1)s\) szorzattal a vele ekvivalens
\(\displaystyle (s-2)!=s+1\)
egyenlethez jutunk.
Ha \(\displaystyle s=2\), akkor a bal oldal értéke 1, a jobb oldal értéke 3, az egyenlet nem teljesül.
Ha \(\displaystyle s=3\), akkor a bal oldal értéke 1, a jobb oldal értéke 4, az egyenlet nem teljesül.
Ha \(\displaystyle s=4\), akkor a bal oldal értéke 2, a jobb oldal értéke 5, az egyenlet nem teljesül.
Ha \(\displaystyle s=5\), akkor a bal oldal értéke 6, a jobb oldal értéke szintén 6, az egyenlet teljesül.
Ha \(\displaystyle s\geq 6\), akkor
\(\displaystyle (s-2)!\geq (s-2)(s-3)=s^2-5s+6>s+1,\)
hiszen \(\displaystyle s^2-6s+5=(s-1)(s-5)>0\).
Tehát pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha \(\displaystyle s=5\), ekkor \(\displaystyle k=1,\ n=4\) vagy \(\displaystyle k=4,\ n=1\) vagy \(\displaystyle k=2,\ n=3\) vagy \(\displaystyle k=3,\ n=2\).
Statisztika:
108 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 85 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai