A B. 5238. feladat (2022. április)

B. 5238. Oldjuk meg a következő egyenletet a pozitív egész számok körében:

$\displaystyle (k+n)!=k^3+n^3+(k+n)(3kn-1).$

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle k^3+n^3=(k+n)(k^2-kn+n^2)$, ezért az egyenlet jobb oldala

$\displaystyle k^3+n^3+(k+n)(3kn-1)=(k+n)(k^2-kn+n^2+3kn-1)=(k+n)[(k+n)^2-1]=(k+n-1)(k+n)(k+n+1)$

alakban is írható. Bevezetve az $\displaystyle s=k+n$ jelölést az

$\displaystyle s!=(s-1)s(s+1)$

egyenletet kapjuk, ahol $\displaystyle s\geq 1+1=2$, hiszen $\displaystyle k$ és $\displaystyle n$ pozitív egész számok. Egyszerűsítve (a pozitív) $\displaystyle (s-1)s$ szorzattal a vele ekvivalens

$\displaystyle (s-2)!=s+1$

egyenlethez jutunk.

Ha $\displaystyle s=2$, akkor a bal oldal értéke 1, a jobb oldal értéke 3, az egyenlet nem teljesül.

Ha $\displaystyle s=3$, akkor a bal oldal értéke 1, a jobb oldal értéke 4, az egyenlet nem teljesül.

Ha $\displaystyle s=4$, akkor a bal oldal értéke 2, a jobb oldal értéke 5, az egyenlet nem teljesül.

Ha $\displaystyle s=5$, akkor a bal oldal értéke 6, a jobb oldal értéke szintén 6, az egyenlet teljesül.

Ha $\displaystyle s\geq 6$, akkor

$\displaystyle (s-2)!\geq (s-2)(s-3)=s^2-5s+6>s+1,$

hiszen $\displaystyle s^2-6s+5=(s-1)(s-5)>0$.

Tehát pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha $\displaystyle s=5$, ekkor $\displaystyle k=1,\ n=4$ vagy $\displaystyle k=4,\ n=1$ vagy $\displaystyle k=2,\ n=3$ vagy $\displaystyle k=3,\ n=2$.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	85 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai